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生物统计学课件--2概率的基本知识
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你可能喜欢论概率解释的多元论观点
——评吉利斯的概率哲学理论
日 15:03 来源：《东南大学学报》2006年第2期
作者：任晓明 李旭燕
内容摘要：
作者简介：
　　概率解释的一元论观点认为只存在唯一有效的概率解释，与之相对照，概率解释的多元论观点认为确定概率值方法的不同导致了各种各样的概率解释的产生，其中每一种解释都是在特定的领域或情况下有效。拉姆齐是二十世纪第一个主张概率多元论的思想家，他认为同一概率演算有两种不同的解释——频率解释和部分信念度解释。卡尔纳普认为对“概率”一词，一般有两种解释：概率1（逻辑的解释）和概率2（统计的解释）。概率1是在逻辑中使用的概率概念，而概率2则是在统计学和物理学中使用的概率概念。吉利斯（D.Gillies）则认为目前存在着三种可行的概率解释：主观主义解释、主体间性（intersubjective）解释和性向解释，以下首先讨论他的关于概率的三种解释观点，然后提出我们的看法。　　一、吉利斯对认识论解释与客观解释的分析　　吉利斯在《概率的哲学理论》一书中，把概率解释划分为认识论的（或认识的）解释和客观的解释。概率的认识论解释把概率看作是与人类的知识或信念有关。很显然，逻辑的、主观主义的和主体间性的解释都是认识论解释。同时，吉利斯认为直到拉普拉斯的早期概率理论家都把概率看作是认识论的而不是客观的，因而，古典解释也属于认识论解释。相反，概率的客观解释则把概率看作是客观物质世界的一种特征，而与人类的知识或信念无关。频率的和性向的解释就属于客观解释。　　拉普拉斯在《关于概率的哲学论文》一书中是这样阐述他的概率古典解释：“当证据对各种可能性都同等地有利，或者根本就没有这类证据时，一个事件的概率只是该事件出现的可能场合数与总场合数的分数，有时称之为无差别原则。”[1]虽然这种解释在当时影响非常大并且它满足了机遇博弈，如掷骰子、抛硬币等等，但现今它已经没有多少支持者了，因为它对概率的所有现代应用都是恰当的。例如，古典概率只是有穷可加的，它不能对科尔莫哥洛夫演算做出充分解释。因此，人们认为古典解释必须被替代。　　在凯恩斯看来，逻辑解释确实需要无差别原则作为它的一个逻辑原则。因为为了获得数字概率，我们不得不判断许多事件是等可能的，因而我们就需要使用无差别原则。并且只有当无差别原则可应用于逻辑中时，逻辑解释才容许数字概率。而一种不容许数字概率的概率解释几乎可以说是不充分的。逻辑解释在当代仍然还有支持者，但在吉利斯看来，不能为无差别原则的悖论提供一种满意的解决方法，对这个概率逻辑理论可以说是致命的。因为无差别原则毫无疑问会导致悖论，虽然对一些这样的悖论有独特的解决方法，但是没有任何普遍的方法把它们都消除掉。任何使用无差别原则的人从来都不能肯定它是否导致矛盾且什么时候将出现矛盾。因此，唯一安全的策略就是完全地抛弃这个原则，并且这样做意味着放弃逻辑解释——至少放弃它的传统形式。　　相反，吉利斯认为主观主义解释与它的衍生物主体间性解释是概率演算十分有效的解释。主观主义解释抛弃了导致一致意见的合理性假定。按照主观理论，不同的个体，虽然都是十分理性的并且具有同一证据e，但是他们对h有不同的信念度。因此，概率被定义为特定个体的信念度。这种信念度是通过诉求打赌行为来测度的。例如，在打一个荷兰赌中，B先生对E的信念度由他对E的赌商来测度。值得注意的是，这种引入概率的方式与操作主义哲学是一致的。近来对主观概率的一个重要贡献是莱德（Lad）的《操作的主观统计方法》一书，在这本书中，他类似于德·芬内蒂但通过详细说明统计学是如何从这种观点得到发展的又超越了德·芬内蒂，从而为主观概率提供了一个基础；同时，莱德谈到了“操作的主观统计方法”，这种方法强调了主观概率基于操作主义这种观点。他说：“一种操作上明确的测度是行动的一种被指定的程序，当这种被指定的行动程序出现时，就会产生一个数。”[2]因此，借助赌商对信念度的测度在这个意义上是一种操作上明确的测度。但是，这种主观概率的操作定义事实上大体继承了操作主义尤其是行为主义所遇到的某些困难。例如，主体可以有理由歪曲他的真实想法。此外，像拉姆齐在《真理与概率》一书所指出的那样，打赌的提议本身可以更改她的意见状态，而主体对打赌可能渴望，也可能不情愿。虽然关于具有一个赌商与荷兰赌论证的信念度的证明已经遭到了批评，但在吉利斯看来，它们是十分现实的并且为主观概率提供了一个合理的基础。　　然而，人们认为主观理论还存在一些问题：一方面，主观主义者允许有同样证据的不同主体对同一假说可以合理地赋予不同的概率，因此，人们往往会认为一个个体的信念度是十分任意的并且不满足任何概率公理；另一方面，如果主观理论要对标准的数学概率论提供一种解释，那么这些信念度（或赌商）应该满足标准的概率公理。主观主义者通过使用一致性概念解决了这个问题并导出了概率公理，而且在主观理论中，概率公理也可以精确地从明显可行的一致性条件得到证明。事实上，给定拉姆齐-德·芬内蒂定理，主观理论对数学的概率演算提供了一种有效的解释，并且可能还存在着对这种演算的其它有效的解释。按照主观理论，不存在唯一的一个先验概率，不同的个体可以以不同的方式选择他们的先验概率，并且，如果他们是一致的，那么这些不同的选择就没有什么不对的了。因此，如果无差别原则被用作一种试验装置，并为先验概率提供两种不同的概率，那么并没有矛盾。从而，主观理论通过使无差别原则成为不必要的或者至多是一种试验装置解决了关于这个原则的悖论。由此可见，主观主义解释显然优越于逻辑解释。　　我们知道，主观概率是关于特定个体的信念度的概率。主体间性概率概念是吉利斯通过荷兰赌论证从个体向群体的扩展而得来的，因此，主体间性概率是关于一个群体的共同信念度。被用来引入主体间性概率的荷兰赌论证表明，如果这个群体同意一个共同的赌商，那么这个共同的赌商就会保护他们不被狡猾的对手打输。荷兰赌论证向群体的扩展仅仅对具有共同志趣的群体有意义。这表明了这样的群体应该在其内部交流信息，使得他们通过讨论能够形成一致意见或主体间性概率。只有通过这种方式整个群体才能保护自己不输给狡猾的对手。事实上确实存在这种具有共同志趣的群体，并且在他们的信念中往往达到一致意见，这是一个关系到普遍经验的问题。如果这个群体很大，那么在满足具有共同志趣和信息交流这两个条件时，需要有一个代理处、协会或联盟去组织这个包括在它里面的信息流的群体。只有这样，主体间性概率（一致的概率）或许还是可能的。吉利斯认为：“主体间性概率概念可能适用于许多不同的领域：其中之一就是经济学，另一个就是科学假说的确认。然而，我不想建议主体间性概率应该完全替代主观概率。第一种概念的使用并不排除第二种概念的使用，而是需要它的使用。……此外，可能适当地存在着不能达到一致意见并因而具有各自的主观概率而不存在任何主体间性概率的个体集合。然后，一个社会群体又可能达到一个被几乎所有的成员都接受的一致意见，同时包含一两个持不同意见者，他们的主观概率不同于这个群体的主体间性概率。”[3]因此，在吉利斯看来，这些不同的可能性表明在对人类信念进行分析时，不仅主观主义的概率是需要的，而且主体间性概率也是需要的。　　对于概率的主体间性解释，可以把它看作是介于早期凯恩斯的逻辑解释与他的批评者拉姆齐的主观主义解释之间的概率。按照早期凯恩斯的逻辑解释，在给定证据e的条件下，某一结论c中存在着一个单一的合理信念度。如果事实是这样，我们期望几乎所有的人在给定e的条件下，认为c中都有这样单一的合理信念度，因为，毕竟大多数人都是理性的。关于演绎逻辑，这样一种广泛的一致意见实际上确实存在。但是，在e不能逻辑地衍推c的情况下，关于判断证据e保证结论c的信念度这种情形是远远不能得到的。于是，不同的个体可能会得到十分不同的结论，尽管他们具有同一背景知识并在相关领域里具有一技之长，并且尽管他们都是相当理性的。因而，要得到一种所有理性的人都应该同意的单一合理信念度是不可能的。概率的主观主义观点似乎也不是完全令人满意。信念度并不完全是个人或个体的事。我们往往会发现一个属于分享共同见解的群体的个体有一定程度的共同志趣并且关于它的信念能够达到一致意见。这类群体的显而易见的例子就是宗教流派、政治党派或者关于各种科学问题的思想学派。对这样的群体来说，主体间性概率概念是合适的概念。这些群体可能是大的也可能是小的，但通常他们不能包含整个人类在内。因此，这种群体的主体间性概率在合理信念度（早期凯恩斯）和主观信念度（拉姆齐）之间是中立的。　　在吉利斯看来，德·芬内蒂企图通过他的“可交换性还原”把所有的概率都还原为主观概率，这种企图注定是要失败的。因为人们除了需要概率的主观主义解释和主体间性解释外，还需要一种客观解释。因此，吉利斯在对概率的认识论解释进行分析之后，转到概率的客观解释这个问题上来。　　我们知道，客观解释中的频率理论与性向理论有以下相似点：（1）概率论像力学或电磁学理论一样是一种数学科学；（2）这种科学处理在物质世界中发现的随机现象；（3）它的公理经验地得到确证；（4）概率像质量或电荷一样客观地存在于物质世界，并且具有明确但可能是未知的值。尽管具有以上的相似点，然而，频率理论的解释遇到了许多困难。比如，频率解释把概率定义为事件在无穷序列中的相对频率的极限，对于单个事件，如何确定它的概率；对于科学研究中的假说，又如何确定它的概率。由此可见，频率的解释是不充分的。而性向理论在一系列要点上明显优越于频率理论：性向理论是基于一种概念更新的非操作主义观点，这种非操作主义观点在自然科学中解释概念更新比冯·米瑟斯的操作主义更好；性向理论消除了关于无限聚合的所有问题，并且通过为概率陈述引入一种可证伪的规则，对概率与十分适合标准统计实践的频率之间的关系给出了一种解释；性向理论通过把随机和独立概念还原为独立的，排除了冯·米瑟斯对这两种独立概念的引入；它通过把概率与可重复的条件而不是聚合联结起来，容许演算的更广泛应用；性向理论更符合科尔莫哥洛夫公理和对概率使用测度理论的现代数学方法，因为它容许概率作为一种未被定义的概念而被引入；等等。就所有这些观点来说，吉利斯认为性向理论已经替代了频率理论并且是当前可利用的最好的客观解释。　　二、主观主义解释、主体间性解释和性向解释的关系　　吉利斯在对概率的三种解释——即认为目前存在着三种可行的概率解释：主观主义解释、主体间性解释和性向解释进行分析说明之后，同时也对这三种解释之间的关系进行了阐述。关于这三种解释，我们可以重复拉姆齐的论断——“很自然地，我们就期望这两种解释之间有一些密切的联系，期望能够说明同一数学演算运用于两种如此不同的现象是可能的”[4]。实际上，对我们来说，就如同对任何概率多元论观点的支持者一样，说明不同解释间的关系是必要的。　　其实，主观概率与主体间性概率之间的关系是直截了当的，因为后者正好是前者从个体到群体的扩展。那么，概率的主观主义解释是如何与客观性向解释相联系的？吉利斯认为客观性向解释通过赌博者使用比如硬币、骰子、轮盘赌轮等等器具进行的实验调查产生了大量关于随机现象的经验材料，而且这些现象大致服从两个经验定理——统计频率稳定性定理与排斥赌博规则定理。人们阐述这种数学概率论以说明和促使这些定理更加精确。后来把它扩展到解释从放射能到遗传学的各种广泛不同的领域的统计现象。而主观主义者已经表明数学演算可以被扩展到涉及特定事件的信念度。因而，这两种解释之间的联系出现在机遇博弈领域中。如果一个赌博者打赌一颗骰子的下一次抛掷比如将出现5，那么重要的就是他或她在那次特定抛掷中的赌商。然而，背景知识通常促使他或她把这个赌商等同于这颗骰子出现5的客观性向。既然在这种特定的例子中，赌商是与性向相等的，那么它们服从同一数学演算并不令人感到奇怪。然而，这种赌商与性向相等事实上仅仅适用于这种机遇博弈的简单情形。　　如果我们考虑哪一匹马将赢得一场赛跑，或者甚至一个特定的人在接下来的五年里是否会发生交通事故，那么这个赌商很有可能就会与性向产生分歧，也许要定义任何客观性向确实是不可能的。因此，这种概率主观主义解释虽然在某一点上与客观解释相联系，但它确实真正地把概率演算扩展到客观解释不能对付的情形。这种观点实际上符合德·芬内蒂所说的：“不难承认，只有主观主义解释才适用于实际预测的场合（运动结果、气象事实、政治事件等等），但它即使被看作这样的最广泛的解释通常也未被放在概率论的构架之内。另一方面，更加困难的是同意这一点，即这种同一说明实际上为在某些传统领域中赋予概率概念的那种更科学、更深刻的价值提供理论基础。”[5]主观主义者的这种观点表明了概率演算的使用是如何能够从传统领域扩展到“实际预测”的场合。　　在吉利斯看来，主观主义解释与性向解释的分歧涉及到了它们之间的本质区别：在客观解释中，概率是与具有独立结果的可重复事件相联系的。因为条件是可重复的，如果我们采用一种可证伪的规则去检验我们的概率赋值并认证或拒斥它们，那么它是可能的。正是这个特征使得这些概率是客观的。另一方面，主观概率适用于单个事件，或者其中没有可重复的条件能够很容易地被详细说明，如在赛马的情形中一样；或者其中像这些能够被详细说明的可重复条件不能表达我们所有的与个体事件联系的知识，如在考察一个特定的人在接下来的五年内是否会发生交通事故的例子中一样。同时，吉利斯认为把科尔莫哥洛夫公理扩展到一种其具有独立结果的可重复条件的假定，从而对它做形式的表述是可能的。这种扩展实际上公理化地刻画了客观性向解释，并且把它与主观主义解释区分开来。然而，标准的科尔莫哥洛夫公理既可以主观地被解释，也可以客观地被解释。　　三、认识论解释适用于社会科学，客观解释适用于自然科学　　吉利斯认为，不同的概率解释适用于不同的领域或情况，其中概率的认识论解释适用于社会科学，客观解释适用于自然科学。在前文中，他论证了性向理论是当前可利用的最好的客观概率解释，因而我们可以把客观解释看作性向理论。按照性向理论的主要特点，客观概率是与一系列独立的可重复条件相联系的。吉利斯认为在自然科学中找到一系列独立的可重复条件是有可能的，因而他同意自然科学中的客观解释；但他认为社会科学中任何事件的独立重复都是不可能的，从而就排除了概率的客观解释适用于社会科学中的可能性。　　吉利斯还认为，可以把气体运动理论与一个关于资本主义经济的模型对照起来进一步说明这个问题。经济模型是由一组从事各种活动的主体组成的，而气体是由一组以不同速度向四周运动的分子组成的。尽管它们之间具有结构上的相似，但这两种情况在重要的方面是不同的：分子没有知识、意识或意志力，除了偶然的碰撞之外，它们最初都是相互独立接近地运动；经济主体具有知识、意识、需要和意志。此外，他们的活动并不是独立的，而是相互作用的。因此，一方面，虽然分子显然没有信念，但我们可以在经济学的情况中引入一种信念解释度；而另一方面，基于客观概率解释的独立假定并不适用于经济学。由此，我们可以得出这样的结论：对气体运动理论来说，我们需要一种概率的客观解释，而对资本主义经济的分析来说，我们需要一种概率的认识论解释。因而，概率解释在经济学中是认识论的而不是客观的。通过扩展开来，我们可以推断出概率的认识论解释通常适用于社会科学，而客观解释适用于自然科学。　　值得一提的是著名经济学家索罗斯（Soros）的观点。索罗斯是波普尔在伦敦经济学院时的学生，他十分推崇波普尔的哲学。然而，他有一个不同于波普尔的观点——即社会科学研究的事件有思想参与其中,自然现象没有思想参与其中。根据这一观点，恒星、行星、彗星等属于自然现象，没有思想，也不受自然科学家提出的任何理论的影响。而对研究金融市场的社会科学家来说，情况完全不一样。这些市场的参与者有思想，并且试图通过参与这些市场来理解它们。即使这些社会科学家没有亲自参与金融市场，他们提出的理论也会影响这些市场的未来的变化。因此，这两种情况是十分不同的。索罗斯在自然科学与社会科学之间的划界与我们在这两种情况中对概率的解释的讨论是一致的。社会系统是由有思想的参与者组成的，所以关于任何情况的一种独立重复是不可能的；假如后一场合类似于前一场合，后一场合的参与者将会了解这一点，这就有可能影响后一场合的结果。因而，概率的认识论解释适用于社会科学，而不适用于自然科学。　　按照主观主义的解释，主观概率是通过把一个特定的个体（比如说A小姐）的信念度看作是A小姐在被指定的条件下（A小姐的赌商）打赌的比率。这实际上是一种关于信念度的操作定义。因此，主观理论（与它的衍生物主体间性理论）是以操作主义为基础。另一方面，吉利斯在阐述一种关于概率的性向理论的长趋势形式中，明确地批评了操作主义并主张一种关于概念更新的非操作主义理论。这样一来，如果我们像多元论要求的那样，既要接受主观理论又要接受性向理论，那么我们显然就会陷入这样的矛盾，即我们不得不既主张操作主义又批判操作主义。实际上，概率的主观理论关注的是信念度的测度，因而属于心理学——社会科学之一。因此，如果操作主义适用于社会科学，那么主观概率适用于社会科学。性向理论关注的是自然科学（例如物理学和生物学）中的概率解释，因此，如果操作主义不适用于自然科学，那么性向理论也不适用于自然科学。于是，我们就解决了为什么我们既要主张操作主义又要批判操作主义的矛盾。　　综上所述，概率演算的解释不是唯一的，同一概率演算可以具有许多不同的解释，其中的每一种解释都是在特定的领域或情况下有效。吉利斯认为目前存在着三种可行的概率解释：主观主义解释、主体间性解释和性向解释。这三种解释各自有自己的适用范围。由这种理论我们可以得出结论：认识论解释适用于社会科学，客观解释适用于自然科学。　　【参考文献】　　[1] Laplace, P. S.(1814) A Philosophical Essay on Probabilities, English Translation of the 6th French Edition, Dover ,.　　[2] Lad, F. (1996) Operational Subjective Statistical Methods, Wiley, 39.　　[3] D.Gillies (2000) Philosophical Theories of Probability, Published by Routledge 11 New Fetter Lane, London EC4P 4EE, 173.　　[4] Ramsey, F. P.(1926)‘Truth and Probability’, in Ramsey, .　　[5] De Finetti, B. (1937) ‘Foresight: Its Logical Laws, Its Subjective Sources’, English translation in H. E. Kyburg and H. E. Smokler (eds.), Studies in Subjective Probability, Wiley, .
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(&甘肃平凉庄浪小学数学四班 )
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　问：小学阶段为什么要教学概率知识? 　　　　答：概率论是研究大量偶然现象中必然规律的一种理论。统计学吸收了概率论的理论，形成了以概率论为基础的现代统计学，称为概率统计。概率统计的重点是了解大量随机现象的总体变化趋势，从而得出随机现象的统计规律，进而可以获得社会发展或科学发现的统计性预期。概率统计在各个领域有着广泛的应用，概率现象随时可见，故有数学家夸张地称：“概率与上帝同在，无处无时不在。”随着概率统计在各个领域越来越广泛地应用，作为21世纪的公民来说，掌握一些概率和统计的知识是完全必要的。《数学课程标准》在小学阶段补充了简单的概率知识，并将统计和概率作为一个独立的内容来进行教学，这样的安排正是顺应了社会发展的需要。 　　　　 　　　　问：小学阶段概率知识教学涉及哪些内容?要达到什么要求? 　　　　答：按苏教版教材的编排体系来看，小学阶段在二年级上册教学“可能性”，是让学生初步认识某些事件发生的不确定性，知道有些事情一定会发生，有些事情不一定会发生，有些事情一定不会发生，初步学会用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来解释生活中的现象。在三年级上册教学“等可能性”和“可能性大小”，使学生知道随机事件发生的可能性有大有小，也可能相等，能判断简单事件发生的可能性，并会用“经常”、“偶尔”、“差不多”等词语来描述一些事件发生的可能性大小。在四年级上册教学“游戏规则的公平性”，使学生通过进一步体验事件发生的等可能性来辨别简单游戏规则的公平性，并能按“等可能性”的原理来设计和修改简单的游戏规则。《数学课程标准》明确提出了“应注重对不确定性和可能性的直观感受”与“应注重对可能性的体验”的要求，所以在教学中应注重对不确定性和可能性的体验与感受。 　　　　 　　　　问：什么叫随机现象?随机现象有什么特点? 　　　　答：现实世界的自然现象和社会现象，可以分成两类。一类是有着明确的因果关系，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称为确定性现象。例如，小学数学所教学的“一定”、“不可能”就是指这种确定性现象。从严格的意义上来说，确定性现象不属于概率的范畴。另一类因果关系不明显或根本没有什么因果关系，即在一定条件下可能发生，也可能不发生，具有多种可能发生结果的现象。这类现象可能发生什么结果是事先无法确切预测的，是“随机而遇”的，因而成为随机现象。小学数学所教学的“可能性大小”和“等可能性”现象以及“游戏规则的公平性”，研究的就是这些随机现象。随机现象有两个特点：一是有偶然性的一面，在一次实验或观测中，某现象可能发生，也可能不发生，即结果呈现不确定性；二是又有其必然性的一面，在大量重复的实验或观测中，其结果会呈现某种规律，即具有统计规律性。概率论就是研究和揭示随机现象数量规律性的一门数学学科。小学数学所教学的“可能性大小”和“等可能性”现象，就是通过大量重复的实验与观测，用统计的方法来揭示某种事件发生的规律性。 　　　　 　　　　问：什么是随机实验?随机实验有哪些特点? 　　　　答：所谓随机实验，就是对随机现象进行的观测或实验。小学数学教材中出现的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动，都是典型的随机实验。随机实验具有三个特点：(1)实验可以在相同的条件下大量重复进行；(2)每次实验的可能性结果不止一个，且在实验之前已知实验的所有可能性结果；(3)在每次实验之前，无法断言哪一个结果会出现，但若进行大量重复实验的话，其可能结果出现又有一定的统计规律性。例如，小学数学教材中出现的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动，就是具有这样三个特点的随机实验。例如“掷骰子”的游戏，“掷骰子”可以在相同条件下大量重复地掷，每次掷出的结果有6种可能，这6种可能在实验之前是已知的，虽然每次掷出的结果无法肯定，但若进行大量重复实验的话，每个数字都有可能出现，且出现的概率都是1/6。 　　　　 　　　　问：组织“摸彩球”、“掷骰子”和“抛硬币”等游戏活动有哪些要求? 　　　　答：小学数学教材中安排的“抛硬币”、“掷骰子”和“摸彩球”等游戏活动都是随机实验，随机实验必须符合以下要求：(1)用于随机实验的材料必须是同质、匀质的，即质地均匀，轻重大小完全一样。例如，“摸彩球”游戏中的彩球必须是除颜色不同以外，其余大小、形状、轻重等完全相同的同质、匀质球。“硬币”也可以看做是符合实验要求的材料。(2)每次实验的条件必须是相同的。如在“摸彩球”游戏中，为了保证每人摸球时的实验条件相同，所以每次摸球活动结束后，必须将球搅合。叉例如在“抛硬币”游戏中，抛硬币时每次上抛的高度应该尽可能相同，并且落在同一平面上。(3)必须保证每次实验的随机性。为了保证每次实验的随机性，可以提出一些实验要求。例如：在做“抛硬币”游戏时，抛出的硬币要有一定的高度；做“掷骰子”游戏时，掷出的骰子要滚出一定的距离；做“摸彩球”游戏时，必须将球装入看不见的布袋中或摸球人必须闭上眼睛，每次摸球活动结束后，必须将球搅合……只有符合了随机实验的要求，才能使随机实验具有科学性，使学生在活动中较好地认识随机现象，感受和理解初步的概率知识。 　　　　 　　　　问：在教学“等可能性”的“摸彩球”游戏中，是不是“摸的次数越多，摸到红球和黄球的次数就越接近”? 　　　　答：在教学小学三年级数学“统计与可能性”的“等可能性”内容时，教材是这样安排的：让学生按小组从装有三个红球和三个白球的口袋中任意摸一个球，一共摸40次，并将结果记录下来，观察数据后学生回答发现了什么。对于教材这样的内容安排，有一些教师认为：只要多安排几次摸球活动，学生就能在摸球活动中得出“摸的次数越多，摸到红球和黄球的次数就越接近”的结论，进而得出“摸到红球和黄球的可能性相等”的结论。这种认识对不对呢?要回答这个问题，不妨借助与“摸彩球”游戏性质完全相同(都是随机试验)的“抛硬币”实验数据来说明问题。下面是苏教版小学数学教材中的一段知识介绍，介绍五位著名学者亲自做抛硬币试验后得到的数据。(见表一) 　　　　从表一中的数据可以知道，随着试验次数的增加，其相差数越来越大，而不是越来越接近。(分析下面表二中的数据也可以得出同样的结论)从相差数的数据来看，是不可能得到“摸的次数越多，摸到红球和黄球的次数就越接近”这个结论的。所以在教学“等可能性”的“摸彩球”游戏中，“摸的次数越多，摸到红球和黄球的次数就越接近”这个结论是错误的，因而也无法从中得出“摸到红球和黄球的可能性相等”的结论。 　　　　 　　　　问：什么叫概率?概率与频率有什么不同? 　　　　答：按照概率理论，设随机事件A在n次试验中发生了nA次，则称nA是d在n次试验中发生的频数，称比值nA/A为在这n次试验中发生的频率，记作f(A)=nA/n。下面借助“抛硬币”实验所采集的数据(见表二)，来说明什么叫
该文章转自[小学课堂在线]：
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