高中导数完全不会求 急看什么王后雄辅导书也看不懂 我导数这块完全不会做题啊 就跟个傻子一样 急在线等 哪位老师达人教教我 用简单易懂的话表达从最基本的开始教我就行
1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
(注释： √
表示 开方.）a是一个常数,对数的真数,比如ln5
lognm 这里的n是指底数,m是指真数,当底数为10时,简写成lgm
当底数为e（e = 2.是一个常数
数学中成为超越数
经常要用到）时,简写成lnm
（如上面给你举的那个例子ln5）sin,cos,tan,sec,cot,csc分别为三角函数 分别表示正弦、余弦、正切、正割、余切、余割.
正弦余弦是一对
正切余切是一对
正割余割是一对
这六个是最基本的三角函数 arc是指的反三角函数
比如反正弦Sin30°=0.5则arcsin0.5=30°（角度制）=π/6（弧度制） 反正切
反余切等等都是同一道理
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扫描下载二维码做为一名高一新生，想快点学完必修一的书。自己学习（赶在老师前面）。买了一本五三在看教科书时能懂，但为什呢在做题的时候却不会做（感到懵懵的）现在我感到十分痛苦的感觉。希望有前辈能指点指点
若想真正掌握某些知识，即要做到理解和会用。然而世界上没有一本教科书能够教会读者如何运用知识。它只负责传授知识，让你理解知识。剩下的一半，做题归纳和思考吧，尤其是理科。
&b&你觉得自己懂了，其实并没有懂。&/b&&br&&b&你觉得自己懂了，其实并没有懂。&/b&&br&&b&你觉得自己懂了，其实并没有懂。&/b&&br&&br&&br&我高一的时候也像你一样这么想自己自学，但是高一期末40多分的物理成绩狠狠打了我的脸。于是父母着急了，找了个特级物理教师一对一辅导。&br&&br&因为一对一很贵，第一节课老师傲娇地表示这节课不收你钱，你试听看看我有没有教你的水平。&br&&br&他说：“课本上的定义和符号那么简单清晰和规范地列在那里，只要智商正常的都能好像看明白每个公式里的每个字每个符号的含义，但是做题就不是人人都会的，为什么呢？”&br&&br&他给了一道简单的题目给我做：&br&&u&小明在1米高的桌子上以初速度5m/s向上扔了一个球，问球经过多长时间落地？如图：&/u&&br&&img src=&/beabed7c0d71_b.jpg& data-rawwidth=&261& data-rawheight=&301& class=&content_image& width=&261&&&br&&br&看起来很简单的一道题，以我当时的直觉或者解题的第一反应是跟着球走，向上到顶点，再向下自由落体。&br&1、第一阶段是向上：这是一个减速直线运动，初速度5，末速度0，加速度是重力加速度g，条件公式逐条列出来：&br&&img src=&///equation?tex=0%3DV0-gt1& alt=&0=V0-gt1& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=S1%3DV0t1-0.5gt1%5E2+& alt=&S1=V0t1-0.5gt1^2 & eeimg=&1&&&br&小球向上跑的的时间t1算出为0.5秒，路程S1为1.25米。&br&&br&2、第二阶段自由落体，初速度0，加速度重力加速度g，自由落体路程1.25+1=2.25米，条件公式逐条列：&br&&img src=&///equation?tex=S2%3D0.5gt2%5E2& alt=&S2=0.5gt2^2& eeimg=&1&&&br&算出自由落体阶段历时&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B0.45%7D+& alt=&\sqrt{0.45} & eeimg=&1&&&br&总时间就是&img src=&///equation?tex=0.5%2B%5Csqrt%7B0.45%7D+& alt=&0.5+\sqrt{0.45} & eeimg=&1&&&br&&br&以上解题过程其实建立在现在我已经很熟悉公式，有需要哪些参量的直觉（比如第一阶段不止需要计算时间还需要计算路程，第二阶段只需要计算时间），审题后能迅速根据直觉列出需要的参量求解计算。在当时我没这么清晰的思路，而是把运动学里的公式一通列（其实也不多，印象中就三个）。把能想到的公式写出来总是能求结果的。&br&&br&但是呢？以上标准解法依然是非常非常麻烦的解法，运动学高考里一般就是第一道问答题，而且不会出得如这题一样这么简单直白，这题说实话出一填空题都算送分题的水平，依然要花两三分钟去解上述那些复杂的计算。&br&&br&那么不根据直觉走呢？老师说你刚才是不是用到了这么个公式？&img src=&///equation?tex=s%3DV0t%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+at%5E2& alt=&s=V0t+\frac{1}{2} at^2& eeimg=&1&&&br&&br&他嘿嘿一笑，问里头每个符号含义是什么？s位移，V0初速度，t时间，a加速度，很简单嘛~你感觉你会了？位移定义不翻书背一背？我当时马上懵逼。只好翻书：&br&&br&&b&“位移是初位置指向末位置的有向线段。” &/b&&br&&br&所以这题可以这么解：&br&桌面小球初始位置为原点，取向上为正方向，末位置为地面，所以：&br&位移&b&s=-1&/b&,初速度V0=5,加速度为重力加速度向下取负为-g，得到：&br&&img src=&///equation?tex=-1%3D5t-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2+& alt=&-1=5t-\frac{1}{2}gt^2 & eeimg=&1&&&br&解一元二次方程排除一个负数，得&img src=&///equation?tex=t%3D0.5%2B%5Csqrt%7B0.45%7D+& alt=&t=0.5+\sqrt{0.45} & eeimg=&1&&。&br&一步解出，只需要半分钟解一个一元二次方程。&br&&br&所以重点是位移这个非常简单清晰明了而且&b&符合直觉&/b&的定义，但是看书的时候花10秒看过一遍好像就懂了。用的时候为什么不会用？&br&&br&因为我&b&根本就没看懂&/b&，懂并不是理解每一个中文字含义和建立浅层的直觉，这谁不会啊？自学要求其实非常非常高，要求具备判断什么是懂了，什么东西要怎么理解，怎么切入的能力，要求具备良好的学习习惯等等。&br&&br&这也是为什么那位特级教师能把答主从一个自学物理最后考40分的学渣一年教成了物竞狗（虽然没有取得拿得出手的成绩），最后高考估分物理满分（理综没单科，只是估算分一分没有错，实际不知），当然代价是他第二年换了辆车。&br&&br&所以还是好好听课吧，一个受过那么多年专业教育的老师，他们的工作并不只是看起来那样简单复述书上那些定义而已。事实上在我国好学校都是公立高中已经相对公平的现状下（那几所X外略过不提），上课好好听课享受的已经是堪称&b&廉价&/b&的优质教育了，所以为什么要自己放弃这个权利呢？
你觉得自己懂了，其实并没有懂。 你觉得自己懂了，其实并没有懂。 你觉得自己懂了，其实并没有懂。 我高一的时候也像你一样这么想自己自学，但是高一期末40多分的物理成绩狠狠打了我的脸。于是父母着急了，找了个特级物理教师一对一辅导。 因为一对一很贵，…
知识+方法----&具象化----&书上的内容&br&书上的内容------&抽象化-----&知识+方法&br&&br&具象化就是编书的过程&br&抽象化才是学习的过程&br&然而，你只看懂了书上的内容就觉得自己看懂了而已。
知识+方法----&具象化----&书上的内容 书上的内容------&抽象化-----&知识+方法 具象化就是编书的过程 抽象化才是学习的过程 然而，你只看懂了书上的内容就觉得自己看懂了而已。
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录为什么有很多学生在老师讲课的时候什么都懂，但是做题却不会做？
298 个回答
这个问题不能不答啊，初二之前就是这个状态，吃啥啥没够，学啥啥一般。家长、老师都认为是我这孩子笨。初二后成绩从平平窜到年级前十，家长都说我开窍了。其实，我只是在初二时突然明白了一点儿怎么去思考而已，之前只是还不会思考而已。上课大概会是这个样子。=========================“什么是远期汇率？”“即期汇率：指当天交易外币时用的汇率。远期汇率：指在未来交易外币时用的汇率。明白？”“哦！明白了！”=========================听懂课堂上讲的，就和听懂上面说的话一样简单。就像看《现代汉语词典》的解释条目一样明白。但是听懂不表示会。如果听懂就表示会了，那把《辞海》通读一遍你是不是就成了物理学家、化学家、哲学家、经济学家、历史学家、国学大师了？所以，听懂了 和 会了 本来就没有直接关系。听懂了，只能说明讲给你听的人会，而且表达力还可以。想要让自己会，就要独立、主动、深入地思考。不去这样思考，单纯地指望别人把他的理解说一遍，自己就能“会”什么，就是异想天开。下面大概展示一下上面所谓的主动、深入思考是怎么回事儿。还是以上面的远期汇率为例。（假设读者明白什么是汇率）++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++问，什么是“远期汇率”，当你听到“即期汇率：指当天交易外币时用的汇率。远期汇率：指在未来交易外币时用的汇率。明白？”这个回答的时候，如果觉得自己“明白了”，那只能说明你根本没有思考！一个真正认真听讲并真心想明白“远期汇率”是什么的经济学白痴会有以下的N多问题。未来有多久？（答：比如可以是1月，也可以1年，下面都假定1年吧。）远期汇率什么时候用？（答：现在和银行约定1年后进行的外币兑换的汇率，这个是银行估计的汇率。）为什么需要事先约定？和1年后再去银行有什么区别？（答：因为汇率在变，1年后的汇率，不一定是客户想要的。比如客户手上如果有日元，一定很想换人民币，因为日元在跌啊。）那为什么不现在就兑换人民币？还要等1年，还要让银行搞这么玄的概念出来。（答：因为我现在没有日元，但是1年后就有了可以吗？这个在出口贸易中很常见，都是合同先签，东西做好了再给日元，给多少是合同写好了的，如果东西做了一年，日元可能跌得本都不够。所以要现在就向银行买个远期。）那要是日元真跌了，那银行跟你签这个合同不是赔了吗？（答：那要是日元涨了银行还赚 了呢！而且呢，即使真不涨，还有人因为各种原因找银行买日元呢，银行也可以对冲掉。）既然有“远期汇率”这个概念，那一定是因为这个汇率与当前汇率不一样吧？（答：对。）为什么会不一样？（答：直接原因是两个货币的国家的一年期存款利息有高有低。通过两国的利率差，可以计算出远期汇率。）为什么利息会影响远期汇率？（答：……你还是先找本《经济学原理》看看吧。）一个不会思考的人，是不会有上面这些问题的，还会觉得自己已经明白什么是远期汇率了。++++++++++++++++++++++++这只是展示一个思考的过程。思考并不需要真去找人、老师问你想到的所有问题，重点是：你要的的确确地自行思考过了才行。尤其在课堂上，老师的每一句话，都是值得思考的，如果仅仅是单纯地听讲，是很难学会什么的。再重复：要思考。--------------------------日更新-----------------------------没想到自己的一点儿学习上的感受能得到这么多赞同。看来有类似问题的人不少啊。不多说点儿什么感觉当不起这多赞。（下面的文字有些无聊，但是更有价值。）什么是思考：可能是我上面的用问问题的方式来描述思考的过程有些误导，搞得好像思考就是问问题。思考并不等同于问问题，思考的方式很多，而且不同的人也会有不同的思考方式。引用下面我的一个评论：“不会有对所有人都适用的思考方法。对我而言，在学习一个新东西的时候，除了了解怎么用之外，我还会想这样几个问题：什么时候用？它解决了什么问题？有没有别的相似的东西或方案？他们之间有什么区别？最后人们主要选择它的主要什么原因？这个东西和我已经知道的XXX有什么关系？不是说一定要用这个问问题的方式，重点在建立与你已知的事物的联系与区别，分清适用的范围和使用的条件，用你的已知的知识理解这些新的知识，只有这样才能保证你的知识体系是连贯的、稳固的，即所谓的“融会贯通”。” 如果耐心理解一下上面关于“远期”汇率的自问自答，就会发现多数问题提出都是这样的：我已经知道的知识告诉我应该是这样的，这个新东西为什么不是这样？这就是在尝试建立与已知事物的联系的一种表现。如果没有这个过程，新的知识就永远不能融入你的知识圈（你真正掌握的知识）。而且这个步骤只能自己来，没人能帮助到你。什么是学习：有人把学习两字分开，学做“了解新知识”解，习做“使用新知识”解。这是一种理解。但是把学习与思考放一起时，“学习”就是一个整体，就是“了解新知识”，而“思考”在这个语境下就是掌握新知识的过程。仅仅学习而不思考是不能真正掌握新知识的，更不用说用这个新知识解决问题了。《论语》：“学而不思则罔，思而不学则殆。”可以说是对学习与思考之间关系最精辟的阐述了。如何思考：没有普适的方法，不然老师们早就用了。但是我觉得一个原则是：在已知与未知的边界上思考才是有效果的。（对已知的东西多想想当然也能理解得更深，但是我们这里讨论的思考是为了学新东西。而对纯未知的东西思考就是娱乐了。）如果有个东西你死活想不通，那就是说你应该回头去学习、掌握更基础的知识了。
个人没有想到，我的这篇知乎文章收获那么多的赞和收藏；谢谢诸位的认可。同时这两天也接到很多的私信，问我高中每个科目更具的东西；其中涉及到每个科目的知识模块，每一个模块的区别与联系。其中既有很多学生，也有很多老师。因为时间和精力的关系，我无法一一解答。所以我准备在下个月来一次知乎live，我现在想知道有多少人希望听的。人多我就办，人少我就继续安安静静的看书。在live中我将会详细和大家分享这些东西:1.学生为什么会听懂而不会做题。2.学生为什么课下会做题，考试考不了高分。3.高中理科每个科目的特点以及实际考察方向。4.高中数学，物理，化学，生物；4大科目之间的主要知识模块。5.每个科目的每个知识模块的联系以及区别。6.每个科目适用的系统学习方法（课上听讲，课下做题）。7.每个科目的错题如何应用。8.每个科目考试前该怎么复习，是背诵还是理解；还是刷题。此外我个人总结的学习方法不仅仅适用于高中，我在大学期间一直在不断优化提升，所以也适合现在正在上大学的朋友。当然，如果有考研党；完全适合。如果这次可以做的不错，那么后边我还会详细讲解如何在信息爆炸的时代，做到快速并且系统的学习。1.互联网时代学习的面临的最大困境分析--没时间，没动力等。2.如何解决学习困境。3.互联网时代的三个有效学习途径。4.每个学习途径会遇到的问题以及解决策略。5.怎么实际运用等等问题。如果想听，请在下面留言或者私信。别光收藏，点赞是王道！如果想听，请在下面留言或者私信。别光收藏，点赞是王道！如果想听，请在下面留言或者私信。别光收藏，点赞是王道！如果想听，请在下面留言或者私信。别光收藏，点赞是王道！在这里我希望纠正大家一些观点，1.我的这篇文章不是去谈论学习的捷径。学习没有捷径可走，如果有那么早已经被世人所知了。你们不知道的是，我现在每天依然会高强度学习8个小时左右。所以我个人在学习中是从不去推荐什么捷径的，但是不妨碍我们去使用科学适合的方法学习。2.我的方法强调的是基础！！基础！！基础！！没有基础，什么都是扯淡。3.您认为您高中时代的理解能力多强？很多人指出，我的文章为什么不像别人的文章一样去让我从这个或者那个角度思考；多问几个为什么呀。你感觉高中那样做适合吗？你感觉你在高中8门课的重压之下还有时间这样玩？敢这样玩的都是智商剩余人事，我们不是；所以认清事实！！！很多人真正去问一个概念的各种为什么，在生活中很常见吗？都是大学，有足够空闲时间了；晚上回家了，有足够空闲时间了！！请考虑高中的实际情况好不好！？到大学你学习一个概念可以问1万个为什么都没关系，时间够呀！！诸位感觉一天12个小时学习时间可以吧，一共5门课=12/5=2.4小时。你感觉解决一个为什么需要多久？概念的为什么都解决了，解题的为什么呢？每个模块知识点之间的为什么呢？认清现实：高中面临的最大问题就是极其有限的时间内，快速提高成绩！！为什么现在很多老师强调学习中多去问为什么，那是因为老师学过；已经具有完整的知识结构和框架了。他明白那两个知识点是依靠什么联系起来的，所以上课一引导学生都可以做出来。但是下课没老师，我们就要自己去解决这个问题了；我们就要自己寻找知识点的联系了，找到联系基础是我们要有宏观知识结构呀！！这个就是最困难的事情了。4.您认为您高中时代的那些为什么解决起来很容易？我强调了刻意练习，你通过题目中的异同去比较一下；这个是最快速也是最省力的问题！！当你比较足够多，就能看到共同的东西----这就是这个题目的！！这个知识的本质！！这样你才能灵活运用！！前人的经验，可以直接借鉴；如果能一次把一个知识点的三个题目弄明白就是三个角度了。而高手，顶尖学霸可以轻松去问为什么是因为别人在之前已经经过刻意练习活天生智商问题具有那种能力了。再说，当我们问为什么的时候是需要一定基础的；当基础不怎么样的时候却去问为什么。如果那个为什么本身就是一个死胡同，进去了走出来不会浪费时间吗？5.为什么衡水和毛坦厂升学率那么高。因为其在刻意练习的量特别大，大到已经可以让学生一眼看出题目的异同了。如果其在思考总结方向再加强，他们每年每个学生都考上清华北大也正常！！！但是如果我们没有那么高强度的刻意练习，就需要在其他方面去补充！！思考，总结；知识结构！！！*******************************************************************************************************************************************我叫分割线************************************************************************************************************************************************************************************* ；指正了我关于索引的错误。 ，指正了我关于毛坦厂和衡水的错误。特别感谢上述朋友在我的文章中指正出来的不足目录一：题主问题的原因分析二：3个小问题三：学习方法小结四：3个小问题解答五：实际学习案例（强烈建议，先看这一部分；再回头开始看！！！）六：现实生活中教育案例分析七：文章中涉及的软件*******************************************************************************************************************************************一：题主问题的原因分析********************************************************************************************************************************************************************第一：为什么有很多学生在老师讲课的时候什么都懂，很多时候是学生不懂而装懂！！站在老师的角度而言，因为长时间的锻炼已经形成一种惯性逻辑；也就是说碰到问题会自然知道那样解决。因为老师是真正的理解，在其脑海中其实早已经有了对应的知识框架，以及适用的场景并且会灵活运用了。但是站在学生角度而言，接受一个知识，他们绝大部分都是了解，了解，了解！重要的说三遍！ 所以所谓的什么都懂，其实本质上就是了解（可能是了解定义，可能是了解定义，内涵，外延；但肯定不是完全理解）而已。我个人认为，真正的懂应该是这样的：了解→刻意练习→思考，加深理解，知道适用场合→构建自己的知识体系，灵活运用→理解。但是大部分学生在课堂上刻意练习太少，课下的时候虽然刻意练习；却很少思考，最后的结果就是根本不理解。换而言之学生在第一步都做的不错，但是后面的步奏都没做好；最终的结果就是不理解。第二：但是做题却不会做。这个问题其实是和上面那个问题相关的，我个人感觉有两个原因。1.因为很多学生在刻意练习之后没有及时的反馈思考，这里面的反馈思考包含：运用了什么知识，为什么用在这里，其在这里求出了什么，不用行不行。很多学生做完题目一丢，OK；我搞定了，去玩了。。。这样很明显缺乏思考以及反馈，只有思考了，才能及时反馈在大脑里面；进而形成思维惯性（解题思维）。2.很多的学生在第一开始对这个知识了解的时候，也就是老师上课讲解的时候就没有尝试搭建自己的知识结构；等到刻意练习遇到难题而不知道怎么办的时候就会打乱原本零散的知识点，最终是哪些知识会比老师课堂讲解的时候还乱。老师肯定是按照一定逻辑来讲解的，所以第一开始的了解中肯定是有一个知识结构的；大部分学生连老师的那个结构都没能拿过来用，更别谈建立自己的知识体系了。******************************************************************************************************************************************* 二：3个小问题*********************************************************************************************************************************************************************************首先我需要提出一些问题，希望大家在看我这个文章的时候，记在纸上；这样你会感觉收获更多。1.你还记得你和初恋的第一句话吗？2.你还记得你和初恋认识的那副场景吗？3.当你解决一个问题（无论是学习中的还是生活中的）的时候，你是不是直接就开始做？在你经历的事情中，你自认为是详细考虑的占多大比例？上面的问题先放着，下面我会解答。****************************************************************************************************************三：学习方法小结①　大致了解②　细致却零乱的了解③　系统的了解④　刻意练习与思考⑤　小框架变成大框架****************************************************************************************************************第一：老师的课堂讲解---大致了解。1.其实老师的课堂讲解，看视频自学也罢；问别人也罢，我们只是做到了对某个知识的了解而已。我们对于一个知识的内涵和外延等一系列其实都是不清楚的；而老师在课堂上其实已经讲了，但是因为我们注意力的问题很难全部接受。所以对于大部分学生来说只是了解层次；也就是仅仅知道定义。对于少部分比较出众的学生来说，他们可能掌握了定义，内涵，外延。当然还有更厉害的学生，掌握了定义，内涵，外延，使用场合。这就是所谓上同样的课，但是有的学生效率高，有的效率低。这种原因我个人认为是因为我们的思维大部分时间都是出于认知吝啬状态，也就是说会用最简单的方式去解析我们接受到的信息。但是对于一个知识而言，真正懂了应该包括：定义，内涵，外延，使用场合。所以这里就导致一个学生对一个知识所谓“懂”的定义就存在歧义了，因为掌握的程度不同。也就是说学生知道一个知识的一部分（例如只知道定义或者知道定义和内涵）就认为她/他懂这个知识了。更有甚者，根本不知道自己哪里不会；反正就是不会做题。对老师而言：我个人看法是先听学生说一下对问题的理解，看下学生到底是哪个方面不足；这样才可以对症下药。否则老师讲解的很可能不是学生不会的地方。2.老师在课堂讲解的时候，一定是按照一个基本的思路（知识结构）来的；大多数情况下就是课本的目录了。因为课本目录是经过好几代人积累总结出来，对于绝大部分同学都是适用的。可惜的是很多学生根本不看目录，根本不看每一节的小目录。这样就导致，一旦稍微分神就是连接不上知识点。如果看了目录至少知道老师讲到哪一块了，刚才分神的是哪一块；这样的结果就是：尼玛，反正我听不懂了；我不听了。所以事先有一个整体的知识框架很重要。如果你能把课本的基本知识框架给了解了，完全掌握了；你就很厉害了。可能你看完我后边的内容，就一心想着搭建自己的知识框架；个人认为不可取。先模仿别人的框架，当你模仿一定程度就会形成自己的了。我自己就是每次都模仿课本框架，其实模仿别人的框架就是在模仿别人的思考方式呀！！别人的思维方式能出书，就说明一定比我们强！！！！！！所以对于学生而言我们就需要对于一节课的内容做一个大致了解了：请找一张草稿纸，一支笔；翻开书。花费10s，快速扫描课本当天要上的内容的小目录并且在纸上写下来。有时老师也会讲解，很重要。这个就是我在上课之前简单写的框架，不管字是否好看。这样做的目的在于：1.你瞬间对这节课的内容有一个整体的把握了，当然如果你告诉我，你不认识课本上的字或者你不会写字。那么当我没说。2.即使你在某个时刻分神了，回头听听老师讲到哪里了；对着草稿纸一看，至少知道老师现在在讲解哪一块知识了。下课也知道该补哪一块知识了。3.如果老师也是按照课本的目录讲解，你瞬间就会有一种即时满足感；因为你发现你老师下面要讲什么，虽然你没听过但是你知道。（就是这么6，有木有！？）第二：详细的记录相关知识点涉及到的小知识点--------细致却零乱的了解这一步完成的是相关知识点整体记录-------好记性不如烂笔头！！！！虽然我们已经有了整体架构，但是没有血肉还是不行的；和房子一样，光有空壳能怎么样呢。所以这一步我们需要记录相关的零散知识点，很多的小知识点是老师随口一说；他自己也没思考，但是这个小知识点可能就是解题的关键。因为老师经过长时间的锻炼了，已经形成完整的知识结构了；她已经具备搞定这个问题的能力了。但是她可能没有考虑到我们是否知道的问题，但是她还是说了出来；所以一定要抓住呀！！你看这张笔记是英语的，我就是随时记得；我写的再乱，但是我自己能看明白就可以了。但是这些对于理解真的很重要！这个是数据结构与算法的笔记，很多都是我们老师所谓的“废话”；但是我发现没有这些废话，我根本很难理解。尤其是老师讲解的例题，更要是眼睛盯着老师；手随时记。这样下课你会节省相当多的时间去理解例题，而且因为你记录了；你也在模仿老师的解题思路了。各位，老师早已是老司机；我们是刚考牌呀！！在这里特别强调，记得乱，字写的差；但是你要记到关键点，别什么都记！！那是逗比。还有人要求，字写的漂亮；老师讲的慢。你以为老师是你买的复读机！？当我们完成这两部分的时候，我们回头看一下：已经有了整体结构，还有了零散的各种小知识点。第三：搭建一下自己的体系，这个时候想不起来的可以看看书和笔记。--------系统的理解。一个是政治的笔记，一个是英语的笔记。这样你基本就是达到：定义，内涵，外延。都清楚的程度了。第四：刻意练习--------定义，内涵，外延，使用场合；加深理解。Learn by doing!!Learn by doing!!Learn by doing!!借由刻意练习，你可以在题目中去明白这个知识的内涵，外延；以及使用场合。上面的前三步，其实还是处于浅层次的理解；因为我们并没有把这些东西具体化。我个人认为，任何一个知识；如果不能具体化是很难被理解的。这一步虽然强调刻意练习，但是练习之后一定要思考！！！思考什么呢？例如数据结构与算法你可以发现画图很重要，那我就明白了；碰到这一块问题；画图肯定是一个重点。例如数学，你把几个长的比较像的题目放在一起；找出共同的地方。找出不同的地方！！！相同的地方告诉你这是同一个知识点，不同的地方告诉你这个知识点可以换着花样玩。也就是所谓的不同出题角度！！！也就是所谓的面对一个知识点的多角度思考。OK!? 可以理解吗？所以对于几个放在一起题目，我的策略就是；先找出异同点（袄，原来同一个知识点有玩法），然后再详细的用红笔把每一步思路写出来（袄，原来这个是这样玩；哎，卧槽居然还能这样玩）！！这个时候其实你的大脑已经开始去意识到了这个知识点的多角度考虑，只是你没感觉到而已（认知吝啬）！！当你做到这步，你再把5个题目放一起；这个时候就可以明白很多只可意会不可言传的东西了！每5个题目分析一次，我基本保证；10个题目你基本就对这些定义，内涵，外延，使用场合都了解了。这里，我没有强调什么这个角度思考；那个角度思考。因为这个扯淡，为什么扯淡呢。我上边给出答案了。第五：再去完善原有的知识体系--------强化的知识体系。因为你上面刻意练习是为了加强理解，而且做题中你会有一些新的感受；当你再开始回头再去做知识结构的时候，很多东西就会自动补出来了。这样你的知识结构就可以变的很强大，很牛逼了。各位，你们可以看出这幅政治知识图和上面那副的差别吗？这里强调一下，对于不同的知识而言；这一步你所需要补充的有的多有的少。数学可能就几句话，政治可能一大堆；英语反而被删减了很多。都是有可能的，正如一个房子一样，茅草房你可能要加茅草；观光大厦可能需要把外面的瓷砖给去掉。不过剩下的基本就是精华了。当你完成这一步，恭喜---你真的理解了。这个时候你可以试试，闭着眼睛在一张白纸上能不能比较完整的写出来（不要想着完完整整写出来，那是打印机）；并且每一个题目都可以想到一个或者多个相关的题目。或者尝试讲解给其他同学听，如果讲的比较清楚；那就不错了。反而哪一块有问题，那么请回头再去看看是不理解定义还是不会做题。第五：将一段时间学习的小知识点，小框架变成大框架！这一步的目的是希望可以把每个知识点练习起来，当你做出这幅图的时候；你既是对过去知识回顾，也是在加强知识之间的联系！！*******************************************************************************************************************************************四：3个小问题解答***************************************************************************************************************************************************************************1.你还记得你和初恋的第一句话吗？2.你还记得你和初恋认识的那副场景吗？3.当你解决一个问题（无论是学习中的还是生活中的）的时候，你是不是直接就开始做？在你经历的事情中，你自认为是详细考虑的占多大比例？上面的问题先放着，下面我会解答。答案：第一个和第二个问题是想让大家明白我们的大脑其实大多数时期都是出于一种认知吝啬的时期，也就是大脑喜欢记忆图片；不喜欢文字，当我们接受信息的时候，我们大脑会自动使用最省时省力的方式去解析信息。其实你仔细回忆一下，即使是我们生活中重大的事件；我们脑海中保留的也只是当时的场景（图片）居多。如果还是不能理解，那么想想你晚上躺在床上脑海中蹦出来的是文字还是图片。所以上面的方法中的很多都是作图，这样大脑就很happy去记忆这个了。第三个问题是想告诉大家，其实我们很多的时候做事都没有详细思考过；当然你要是告诉我你每一件事都是详细思考过的。那么大师，请收我为徒；教教我吧！而实际情况我们用的是思维惯性！！也就是所谓的经验内化形成的思考方式。而刻意练习以及不断思考正是帮助我们不断的强化直到内化成我们的思考方式一种重要方法。同时，刻意练习可以把一个知识给具体化；通过上面的认知吝啬你也该明白了：大脑讨厌抽象，喜欢具体。***************************************************************************************************************五：实际学习案例①　高中数学②　高中化学③　高中生物***************************************************************************************************************①　高中数学你们看出来没有，理科类别的错题需要分类对比的！！！所以我的错题都是分类的！！这个是章节的分类，还有更细的题目类型分类。只有在这个情况下你才能明白一个知识点是如何玩的，就是所谓的多角度！！数学先学习集合，再学函数（定义域，对应法则，值域，单调性，奇偶性，周期性），三角，数列，立体几何，解析几何。（没列完，一共八个模块）。你们想过为什么这样吗？第一：因为集合是语言，没有集合语言为基础；后面的定义域，值域，单调区间都没办法表示。第二：学习函数的那么多性质，一开始是抽象的；然后再学习指对冥，把抽象的函数知识具体化了。但是指对冥里面我们讨论的是定义域，对应法则，值域，单调性，奇偶性这几个性质。还有一个周期谁来负责，那就是三角；所以基本三角题目都要求周期！！第三：上面是一般函数，普遍之中有特性！！谁是特殊函数，数列！！因为数列的定义域只能是正整数！！所谓数列的通项不就是函数的解析式，递增数列和递减数列不就是函数的单调性！？这样普遍的函数，以及特殊的函数全部研究完；所有的性质也都涉及到了。第四：这些还是很抽象怎么办？形无数难至微，数无形少知觉；数形结合千般好！这个就是为什么出来了解析几何，因为解析几何就是图形；就是形这一块的主要代表。无论是直线还是圆，乃至椭圆都是几何图形；看懂了吗？第五：到现在为止，都是二维；而我们生活在三维立体世界。所以立体几何出来了，立体几何就是拓展我们的空间想象力的；OK，可以明白吗？我的讲解够细了嘛？所以数学是一门相互联系紧密的学科。第六：从坐标轴来看集合一维坐标轴就可以搞定，无论是交集还是补集。函数，数列，三角，解析几何需要二维坐标轴，横坐标其实就是定义域；纵坐标是值域，图像是解析式；变化趋势是单调性，是否关于原点和Y轴对称是奇偶性。立体几何需要三维坐标轴表示，求各种夹角；平行，异面情况等等。这就是站在坐标轴的角度看数学，可够清楚的？各位学过高等数学的大神，你们可以告诉我高等数学的结构体系吗？为什么目录是那样安排的吗 ？②　高中化学认识这个吗？这个是高中的元素周期表，你要是告诉我不知道；回家和泥玩去。认识这个吗？这个是高中的元素周期表，你要是告诉我不知道；回家和泥玩去。我把初中高中学过的每一种元素标出来了。1.你们想过为什么高中上来就学习Cl,Br,i;单志碘的2打不出来。因为这是一个引子，我们学习元素周期表的时候知道，每一主族既有相似性也有差异性；而Cl,Br,i就是典型的例子。相似性在于都是非金属，都可以和金属反应；都可以和水反应等等。但是有特性呀，那就是形成的酸的酸性不同；这个叫做差异性！！2.为什么要单独学习F，因为F反常更明显！！通过这一个主族就告诉我们同一主族既有相似也有差异。为什么不学习At，那玩意有毒；想死了？在学校搞那个！？所以高中化学第一本书主要集中精力搞这几个！！3.你再看后边每一个主族就不学习那么多元素了，因为前面学的够了！！N和P，同一主族。S和O，同一主族。C和Si，同一主族。Al和Mg单独学；因为他们是金属！！而且Al还是两性的特殊存在！！到这一步，金属非金属都已经学完了。我讲解的可清楚？4.为什么单独学习第一主族，因为第一主族特殊；特殊在既有金属也有非金属！！Na和H，就是特殊的存在；学习的目的就是对比，强化。5.为什么学习Fe和Cu，因为我们上面学习的都是主族元素；这两个是非主族元素。到这一步，主族，非主族；金属，非金属；两性单质全部研究完毕。再利用元素周期表，去串联各种元素。6.我们学习每一种元素，都是一个模式。先研究物理性质，再看化学性质。物理性质：颜色，状态，有没有毒，水溶性，密度。化学性质：和单质反应，和化合物反应；和盐反应，和酸碱反反应。7.为什么不是先学习化学性质再去学习物理性质？因为存在是第一要素，都不存在了；你研究你妹呀。所以物理性质要第一研究，化学性质第二研究！8.物理性质为嘛研究那几个，我研究其他的不行？因为颜色是我们用于鉴别的！物质状态会决定我们制取过程装置！物质有没有毒会决定我们对尾气处理！水溶性和密度决定我们怎么收集（排水，向上排空，向下排空；）！化学性质在这里的体现就是制取的方程式，OK？ 到这一步物理性质和化学性质完美结合。每一个物理性质都有其存在原因。你学习的每一种元素不能很扯淡，具体化！！这个就是实验题目的含义！！9.为什么学习那么多理论：强弱电解质呀，水解呀，电离呀。很简单，就是通过这些理论把每一种单独存在的物质联系起来；联系；联系！！！你回头看看，强电解质一大堆；能水解的一大堆！！到这一步，基本所有生活中涉及的元素研究完毕；每一种元素的理化性质研究完毕；所有的元素通过一堆理论联系起来。化学我讲的可详细！！③　高中生物这个地方没有找到合适图，不贴了；有空我自己做一张。1.高中生物学了什么。先学习细胞的物质基础，光合与呼吸作用，分化和分裂，调节机制（神经，体液，免疫），遗传，环境，相关先进技术！我不按照这个顺序学不行呀，我凭什么听课本的；不行，就是不行！！2.细胞的物质基础学习这个干什么，抱歉；物质存在是基础。所以我们先学习五种基本物质，然后学习了由五种基本物质构成的各种细胞器；然后细胞器+细胞质=细胞！！但是有木有非细胞，有哇：病毒！！到这一步，由基础的物质我们可以组装出一个细胞了或者非细胞了。3.你已经存在了，但是你要活着呀；你要赚钱要消费呀。你以为细胞不需要，哈哈；小朋友我看你骨骼惊奇，你回家辟谷去吧。细胞怎么消费，呼吸作用；细胞怎么赚钱；光合作用。哇哈哈，幸福的小细胞。4.亚当还有夏娃呢，对吧。所以细胞需要分裂出更多数量进而分化成不同类型，数量是类型的基础。这就是为什么学习分裂与分化！5.卧槽，我是一个人了；而且我的细胞能吃能喝能赚钱。可是我不想生病呀。所以三种调节机制应运而生，天降调节机制于细胞/个体。这三种机制就是为了保证细胞/个体能活的更好的；具有一定的抵抗能力的。到现在请回头看看：元素→五种基础物质→细胞器+细胞质→细胞→细胞+光合与呼吸→活着的细胞+分化/分裂→人+调节机制=happy！少年，你只能猜中开头；你猜不中结尾的。6.我可以能吃能喝的并且对各种危险有一定抵抗能力了，But单身狗伤不起。遗传就出现了，精子与卵子么么哒；后代就有了。哈哈，老夫也是有后代的人了。7.就两人，整天对着时间久了；也不行呀。让我们一起去愉快的风花雪月吧。所以这个时候就是个体与环境了；这个就是我们为什么学习环境知识的原因了。8.随着时代的发展，各种新兴技术使我们更嗨了；神马胚胎培植，剖腹产；呸呸，口误~不对，笔误；卧槽，手误。好了，我们的生物之旅到此结束了！！******************************************************************************************************************************************六：现实生活中教育案例分析*****************************************************************************************************************************************************************待补*********************************************************************************************************************************************七：文章中涉及的软件**********************************************************************************************************************************************************************待补
这和去一个新地方第一次是别人带你走的，你觉得自己已经知道该怎么走了，等下次没人带自己去的时候，才发现原来自己是路痴一样。记性好的，顺着原路可能可以找到。但大部分人只要绕个弯就会迷路。更别说是让他们自己再想条新的路了。
我从心理学的角度来谈谈：1.这是知识和认知的差别。老师讲的是知识。听课是一种被动接受知识的过程，而做题是一个主动认知的过程。老师和书本给的是知识结构，我们解题运用的是我们的认知结构。知识结构和认知结构是有差距的，这就需要你调整认知结构来【顺应】知识结构，或者用自己的认知结构来【同化】知识结构。所以从听得懂（被动明白知识结构）到会自己做（主动建构认知结构）如果差距越大，就需要更多的时间来顺应和同化。一道高三的物理题，给高三的学生讲，那么知识结构和学生原有的认知结构差距较小，只需要很少的时间来顺应同化。一道高三的物理题，给初一的学生讲，那么知识结构和学生原有的认知结构差距较大，就需要很多的时间来顺应同化。2.人的天性：健忘根据艾宾浩斯的遗忘曲线，人遗忘的规律是先快后慢，在20分钟内能够遗忘掉58.2%的内容。我上课曾经这样问学生：上课三分钟之后，提问，有谁记得我进门讲的第一句话是什么吗？结果没有人记得，整个年段一个都没有。停顿了一会，再问，有谁记得我前十句讲了什么吗？也几乎没有人能说得出来。你学了新的知识，你不练习，不复习，不需要超过一天的时间，那么这些知识就会开始陌生，过了一个礼拜它肯能又变成像没学过的新的知识。
当学生在说“我懂了”的时候，他们到底在说什么？1.礼貌性的回话讲课讲累了，或是不爱动脑思考的老师，最喜欢问的就是这句：听懂了没？一来反馈明确，二来推卸责任，你说你听懂了是吧，那好，那你再不会就不能怪我了反过来，每次学生回答：还没懂可能下一句老师就该说：这都不懂，我都讲这么详细了/你到底有没有用心听啊长此以往，学生回答“听懂了”，其实已经是一种礼貌客套和敷衍2.仅仅掌握了这种方法/套题而已很多课堂里都有这么个问题，教案或讲义的设计循着这么一条线索：定义——例题——练习——作业讲定义的时候不讲来源和应用背景，只讲使用方法和注意事项例题则是马上将定义拿来应用，往里套公式等练习呢，把例题改一改小条件，让学生会套公式作业，还是改一改，学生熟练应用该公式可以看到在这个过程中，最重要的好奇心和推理发散被去掉了，学生收获了一堆固定条件下的公式应用他是听懂了你这个死板的定义和应用，可这些知识不足以应付考试中的综合问题及发散思考，只好败下阵来也就出现了你说的，不会做题综上所述，一个如我般的好老师，是绝对不会乱问懂了没的，通过一些细微的思维考察和观察学生的反馈，比直接问他们效果好多了
我很少在知乎回答问题，今天在手机上看到了这个问题，直接把电脑拎出来专门上知乎答你这个问题。当然，我是看到@Hugo
Gu 的答案深有感触，也上来说说自己的想法。因为我自己现在在做课外辅导的工作，这类问题几乎是最常见也是最头疼的。好不容易想方设法用一个方法把学生讲懂了，一做题，又不行了，但是如果稍微再提点一下，比如再强调一次定义，他就会了。我一直在这方面很疑惑，但我在工作和生活中渐渐发现了这一问题的奥秘。我想举两个例子，第一个是我男朋友和我之间的区别。先说说我自己吧，我是一个典型“学酥”，平时有什么知识点说得头头是道，考起试来就是个渣渣。我男朋友恰恰相反，典型学霸，就是从小到大逢考必第一的那种，和我在一起之后还经常跟我分享他高中那会儿的“英雄事迹”，比如作业没写被老师罚抄，比如通宵上网第二天翘课睡觉等等。但是，这依然没有阻挡他次次考试得第一的步伐呀！苍天哪！我俩刚刚在一起的时候，我有向他请教过学习方法。他说：看书啊！我问：看什么书那么管用？他说：就看课本啊！我说：别逗了好吗，课本谁不会看呐，课本上那些和考试的题目根本是两码事！不刷题哪能会写题呢？他说：我不知道，反正我光看课本就什么题都会写了。唉，看来不光是我们不能理解学霸，学渣的世界也是学霸所不能懂的。也就是说，一开始我是不相信光看课本就能使人进步这招的，但是后来，我信了。比如我和我男朋友同时看一本书，我就发现他看得比我慢，我就难免催促他快点，他给我的回答往往是：还没看明白呢！我笑他蠢：这有什么不能理解的？告诉姐，姐教你！他就指出某一个点问我：这个问题为什么是这样的，为什么不是那样的？这个问题在生活中会有什么样的应用呢？这个问题和那个问题是不是有因果关系，如果有，能不能互为因果呢？……等等等等。我一句话也说不出，我发现，原来我真的没有看懂！原来这个世界有这么多值得探索的东西，而我都错过了。然后再说第二个例子：是我的一个学生。这个学生是我最讨厌的学生，没有之一！大家应该都知道我们这种课外辅导吧，就是一对一，坐在一间小屋子里，然后学生的一举一动老师都能关注到。一对一这种辅导方式价格比较高，但是仍然有很多家长选择让学生进行这种模式的辅导。其中一个大原因是，很多孩子在学校上大班课时老师没法关注到他，于是他就各种天马行空，各种走神，导致听课效率低下，然而一对一正好解决了这个问题。我要说的就是这么一个一对一的学生。他是在中考之后的暑假来找我的，想先预习一下高一的内容。高一的预习课其实我上了很多遍了，分分钟第一节课就把学生虐哭啊！但是这个学生不一样，他听我讲了大概半个小时的课（正常是两个小时的内容），脸上表现出十分的不耐烦。后来他终于忍不住了，他说：你别讲了，给我做题吧！我见他一脸的傲气，就给他准备了一份超级难的练习（超级难就是我自己做完都有种要吐的感觉，顺便说下，我教的是化学。）结果他拿过去，不到十分钟就写完了。他交卷的时候我非常吃惊，我以为他是不看题目乱蒙的，结果我拿来一看，居然全对！而且有好些我故意设置的陷阱，他居然都懂得绕过去！我依然不信，我认为是他运气好，我就让他给我讲解几道有陷阱的题目。他一脸的不屑，用简短的语言讲完之后，还补充了一句：这就是高中化学啊，切，我还以为多难呢！事实证明，第一节课他听了半个小时，已经是他的极限了。之后的课，你们也能想象出来了，他根本不愿意听课，上课就是玩手机，我说：少年别玩了咱们上会儿课吧！他说：还有一分钟就打完了，老师再给我一分钟！于是他就接着玩了半个小时。暑假结束后我跟他妈妈说，孩子很聪明，可以不用补习了。于是高一期中考之前是没有见到他了。结果期中考过后他妈妈又打来电话，说孩子期中考化学没及格，还得回来找我补！我心里一乐，小样，你也有不及格的一天啊！肯定是上大班课不听课啥也不会了吧！然后他又来了。依旧是不肯听课的状态，直到期末考之前的一周。眼见快要期末考了，我心里也挺着急的，害怕他又没考好，我就辜负他妈妈的信任了。本来最后一节课我是想给他押押题，临时抱佛脚嘛，可是他来了依旧不听课。但这次他不是玩手机，他自己把一本王后雄拍在桌子上，然后自言自语道：下周就期末考了，我还啥也不会呢！不行，我要看看王后雄！然后他就旁若无人地看了起来，压根儿没搭理我。结果期末考，100分的卷子，他考了96分！还对我说居然才年段第四！他很生气。总结一句，虽然他是我很讨厌的学生（因为他不尊重老师），但我依然要表达对他的崇拜之情，同时感叹一句，真是人比人气死人！好了，两个例子都举完了。这两个例子中的人，都有一种特异功能，叫做一看知识点就会做题。这种人往往还伴随有另一种能力，叫做考完精确估分的能力。比如我男朋友，他就是清楚地知道，做过的题就是得分的题，所以考完只要算算有几分是不会写的，就扣那几分就好了，屡试不爽，一分不差。而我们普通人呢，刷了大大小小的题库，一到考试，还是觉得题目很陌生，而且从来估不准自己的分数，感觉整张卷子写得满满，得分的点却没几个，真是让人欲哭无泪啊！然而我们可以从以上的两个例子中看出一些端倪，为什么他们可以，我们就不可以呢？1.简单置换：我妈妈也是一个学霸，在我刚刚学习应用题的时候，她就常教我，做题之后要反思。最简单的就是将已知条件和问题对调。举个简单的例子，题目是：道路两旁种树，一边种5棵，总共需要几棵树？置换之后就变成了：道路两旁种树，总共有十棵树，平均每边要种几棵？这时，刚刚在学习乘法的小学生，立刻就领悟了除法的核心原理，都不用老师来教了。2.概念深度辨析：直接举化学上的例子，比如电解质的定义为：在水溶液或熔融状态下可以导电的化合物。好的，这个定义许多学生都会背，然而当我问到他们，什么是“导电”时，几乎没有人能回答上来。你看，他们都不知道什么叫导电，定义中的关键词汇都不明白，平时做题当然觉得非常吃力了。所以看待定义的时候一定要把每个词汇都弄明白，不仅仅是知道这个词的字面意思，还要能联想到它会怎么出题，比如刚才的例子中：水溶液（难溶于水的东西是不是电解质？）、熔融状态（什么是熔融状态，它和水溶液有什么区别？）、导电（怎样才算导电，它的微观表现是什么？）、化合物（那些能导电却又不是化合物的东西就是常见考题）这几个关键词都是常考点，括号里面是看到这几个词汇应该联想到的题型。只要这些都能想明白，真的不用刷题，电解质的考点我保证你考满分！暂时我是想到这两种联想方法，等我想到新的再更新吧！
我站在一个过去的老师，现在的教育NGO从业者的角度来回答一下这个问题。为什么有很多学生在老师讲课的时候什么都懂，但是做题却不会做？很简单，学生根本就没懂，只是看起来懂了而已。“看起来懂了”这种情况是怎么出现的？我们举两个例子？从老师的角度：我是老师，我讲完了内容，我问：“听懂了吗？”学生答：“听懂了”，所以我以为他们听懂了。从学生的角度：我是学生，老师刚才讲课讲完了，我问自己，老师刚才讲的每句话有什么不明白的地方吗？没有，每句话都明白，那我应该是听懂了。这样的例子写出来，很容易就能发现其中的问题。然而反思我们经历过的课堂，有多少老师和学生不是这么做的？所以，我们现在要思考的是：学生看似听懂了，老师看似讲明白了，其实没有，我们怎样去发现？我们怎样去避免？我从业的教育NGO名为美丽中国Teach for China，我们每年找到新老师之后都要做暑期培训。暑期培训包括FOP，SPT等等。FOP是foundation of pedagogy，就是基本教学法。在基本教学法里就有一课，训练的是有效的check for understanding，即有效检查理解。yes or no的问题。这样的问题全都是无效的检查理解。“听没听懂？”“明白不明白？”这些显然是无效的。“这道题选A还是选B？”也是无效的，因为学生可以猜，可以随声附和，可以用错误的逻辑得出正确的选项。那有效的检查理解应该是怎样的呢？这里贴几个链接，是我在google上用check for understanding的关键词随手搜的。[PDF][PDF][PDF]挑几个里面的例子展示一下：1、ABCD WhisperStudents should get in groups of four where one student is A, the next is B, etc.Each student will be asked to reflect on a concept and draw a visual of his/herinterpretation. Then they will share their answer with each other in a zigzagpattern within their group.学生以4人为小组，第一个学生是A，第二个是B，以此类推。每个学生被要求表达一个概念并且画一张图来展示他/她的理解。他们将轮流向小组内的其他同学分享他们的答案。2、Circle, Triangle, Square(Circle) Something that is still going around in your head (Triangle) Somethingpointed that stood out in your mind (Square) Something that “Squared” or agreedwith your thinking.学生在还感到困惑的地方标记上圆圈，学生在他学习后自己思考出来的东西上打上三角形，学生在他思考后同意的地方打上正方形。3、Entrance/Exit ticketEach student will be given a ticket to complete before leaving the roomanswering: What is the most important thing I learned today? What questions doI still have? These tickets can be given to the teacher when exiting the room orupon entering the next day. The teacher uses this information to guide theinstruction.每个学生在理考教室前需要完成一张出场券。出场券上的内容为：你觉得你今天学到的最重要的内容是什么？我心里还有什么疑问？这些出场券完成后交给老师，老师根据学生的回答计划以后的指导。（当然，出场券上也可以是别的有效的检查理解的内容）4、Example/Non‐ExampleGiven examples/non‐examples, students determine concept给出一个例子或者反例，让学生来下定义。（或者给出定义让学生来举例子或者反例）不列举更多了，感兴趣的可以去看这几个链接。我们接着往下说，老师们知道了怎样才是有效的检查理解之后，我们怎么保证老师们在上课的时候用上，并且在合适的时间用上呢？答案是，写到教案里去。写教案的过程就是备课的过程。在写教案的时候，就要看着自己整节课的框架告诉自己，我需要足够的CFU（检查理解）来保证效果，我需要在哪些哪些位置放置CFU（检查理解）。这也是为什么我们在暑期培训中要求准老师们必须写出详细的教案的原因。从教案里必须能看到具体的课堂策略、教师行为和预期学生反应等等。对教案的要求是你突然出意外不能上课了，其他人在没有任何准备的情况下也能拿着你的教案照着上课。当然，我们是有一个模板的。
曾经我就是这样的典型学生，上课确实听懂了，放映还比一般人都快，但考试就。。。曾经我只要有个最后的简单答案，还能给比考试成绩好的同学讲解题目，但考试就。。。问题是A，答案是C。从A到C，很可能还有一个关键的B。这个B可能是个隐藏条件，课堂上老师点出来了。可能是个思考方向，课堂上老师多多少少已经明示暗示了。可能是条辅助线，这已经基本剧透了啊。剧透或已经知道答案后，你再去看侦探小说，总会觉得也就这样呀。可是，当初自己怎么想破脑袋也想不出所以然呢？这个B，可以是独立思考的能力，可以是很多未知时探索的能力，可以是发散联想的能力，也可以是逻辑推理的能力。当我们忘记了所有的知识后，剩下的就应该是这个B。想想，自己当年太多小聪明，反误了自己的学途。
和我学外语时候一样，每个词好像都知道什么意思，连起来还是不懂那句话在讲什么。。。听得懂字面意思不代表就能了解其中的含义，还需要搞清楚整体的逻辑关系等等。
你试试你当老师把之前上课的题再完整讲述一边，懂了和会做是两码概念。做题关键不是老师每一步写出来的试子是不是明白，而是每一步之前的思考。
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