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& 2014高考数学典型试题解析：3-1导数及导数的运算
2014高考数学典型试题解析：3-1导数及导数的运算
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资料类型：专题资料
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资料概述与简介
一、选择题
1．(文)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
[解析]　该题考查导数的几何意义，注意验证点在曲线上．
y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，
切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.
(理)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1　　　　　　　
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
[解析]　本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．
y′＝2x＋a，y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
2．已知f0(x)＝cosx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，nN＋，则f2013(x)＝(　　)
A．sinx　　　　　　　
C．cosx　　　
[解析]　f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，
f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4，
f2013(x)＝f1(x)＝－sinx.
3．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝x2－lnx
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝sinx
D．f(x)＝＋
[解析]　本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意．
(理)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A.　　　　
C．钝角　　　　
[解析]　f′(x)＝exsinx＋excosx
＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.
4．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数
D．非奇非偶函数
[解析]　f(x)＝sinxcosx＋sinx，则f′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f′(x)是偶函数，又因为cosx[－1,1]，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．
5．(文)若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
[解析]　求导，得y′＝－x (x>0)，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a，由点斜式，得切线l的方程为y－a－＝－a (x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a＝a＝18，解得a＝64.
(理)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
本小题考查的内容是导数的几何意义．
y′＝(e－2x＋1)′＝－2·e－2x，
令x＝0，y′＝－2，k＝－2，切线方程为y＝－2x＋2.
如图，联立，
∴，S＝×1×＝.
6．(文)若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为(　　)
[解析]　f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，
f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1，
f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1，
解得f′(－1)＝－2.
f′(x)＝x2＋4x＋1，f′(1)＝6.
(理)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ0)的一条切线，则实数b的值为________．
[答案]　ln2－1
[解析]　由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－1.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
[答案]　(1，e)　e
[解析]　设切点坐标为(x0，ex0)，
则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝ex0.
切点与原点连线的斜率k′＝.
k＝k′，ex0＝.x0＝1，切点为(1，e)，k＝e.
三、解答题
9．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析]　(1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
[解析]　(1)y′＝x2，
在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率k＝y′＝x.
切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
点P(2,4)在切线上，4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.x＋x－4x＋4＝0.
x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
一、选择题
1．(文)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
[解析]　本题考查导数几何意义，求导公式．
＝，y′|x＝＝.
(理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)
A．5太贝克
B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克
D．150太贝克
[解析]　本题考查导数在生活中的应用．
M′(t)＝－ln2·2，M′(30)＝－ln2＝－10ln2，M0＝600，
M(t)＝600·2，M(60)＝600·2－2＝150.
2．(文)若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的斜倾角为α，则角α的取值范围是(　　)
[解析]　y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－
tanα≥－　α(0，π)
α∈∪，故选B.
(理)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－100)，则f ′(0)＝(　　)
[解析]　解法1：f ′(0)＝
＝[(Δx－1)(Δx－2)…(Δx－100)]
＝(－1)(－2)…(－100)＝100！.
解法2：f ′(x)＝[x(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝x′[(x－1)(x－2)…(x－100)]＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝(x－1)(x－2)…(x－100)＋x[(x－1)(x－2)…(x－100)]′，
f ′(0)＝(－1)(－2)…(－100)＋0＝100！.
解法3：由多项式展开式的性质知，f(x)＝a101x101＋a100x100＋…＋a2x2＋a1x＋a0，则
f ′(x)＝b100x100＋b99x99＋…＋b1x＋a1，f ′(0)＝a1.
又a1＝(－1)(－2)…(－100)＝100！，f ′(0)＝100！.
二、填空题
3．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
[解析]　作直线y＝x－2的平行线使其与曲线y＝x2－lnx相切，则切点到直线y＝x－2的距离最小．
由y′＝2x－＝1，得x＝1，或x＝－(舍去)．
切点为(1,1)，它到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝.
4．(文)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
[答案]　(－2,15)
[解析]　y＝x3－10x＋3，y′＝3x2－10.
由题意，设切点P的横坐标为x0，且x00，
当t(1，＋∞)时，S′(t)<0，所以S(t)的最大值为S(1)＝.
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求V=x(a-2x)^2的导数是什么？我要过程!! 我知道答案是V`=(a-2x)(a-6x) 谢谢各位帮帮忙！！！！
胡椒歌惜0708
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(a-2x)^2+2(a-2x)x=a^2-2ax
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＞＞＞f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的（）A．充分但不必要..
f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的（　　）A．充分但不必要的条件B．必要但不充分的条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件
题型：单选题难度：偏易来源：杭州二模
例如：f（x）=|x|在x=0处有极值，但x=0处不可导，所以f'（0）≠0∴不必要，而f（x）=x3在x=0处的导数为0，但不取得极值．∴不充分，∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的即不充分也不必要条件；故选D．
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据魔方格专家权威分析，试题“f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的（）A．充分但不必要..”主要考查你对&&充分条件与必要条件，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
充分条件与必要条件函数的单调性与导数的关系
1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的（）A．充分但不必要..”考查相似的试题有：
835834886117273197793818404819245037FastCGI Error
FastCGI Error
The FastCGI Handler was unable to process the request.
Error Details:
The FastCGI process has failed frequently recently. Try the request again in a while
Error Number: - (0x).
Error Description: ???,?¨u??í?ó
HTTP Error 500 - Server Error.Internet Information Services (IIS)}