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利用基本不等式求函数最值
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第一章 数与代数
“数与代数”是初中数学课程的四个主要学习内容之一，也是最为基础的学习内容。这一部分内容涉及运用符号表示数、数量关系和变化规律，使用符号进行一般性的运算和推理，涉及方程、不等式、函数等基本数学模型，包含从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用符号表示数量关系和变化规律，求出模型的结果、并讨论结果的意义，进而形成初步的模型思想。
本章将就初中数学学习最为基础的数、式、等式与方程、不等式和函数进行阐述。
“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。对量的多少和数的大小、关联的感悟是理解“数”乃至整个数学的基础。虽然在小学阶段对“数”的学习已经较为深入，然而，数系的严密化和数系的扩张却是在初中阶段完成。因此，我们有必要对“数”的发展历程和扩张理论进行必要的掌握和了解。
一、如何理解数系扩充的概况 ?
数的概念是逐步发展的，从历史发展过程来看，数的概念的产生和扩充是交错着的。例如在人们还没有完全认识负数之前，早已有了无理数的概念；在实数理论还没有建立之前，就早已经产生了虚数的概念。数的概念产生于实际需要。数集的每一次扩充，总是由于旧有的数集与解决具体问题的矛盾而引起的。这些问题一般都是首先从实际中提出的，比如数集从自然数集扩展到实数集这一过程中，都是与量的计量问题联系着的。虚数的引进虽然首先是从数学本身的需要提出的，但即使如此，最后还必须取得了实际的解释，逐步展示了它的致用，才被广泛采纳。
第一次扩充：分数的引进。
第二次扩充： 0的引进。
第三次扩充：负数的引进。
第四次扩充：无理数的引进。
第五次扩充：复数的引进。
数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：
原数集是扩充后新数集的真子集；
原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；
原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；
在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；
新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。
按照上述扩充原则，通常有两种扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充，如，
中小学数学课程中，数系的扩充，一般采取的是这种方法。
另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前所建立的数系是同构的，这里不再赘述。
二、自然数的发展历程是怎么样的？
众所周知 0 ， 1 、 2 、 3 、
4 、 5 、 …… ，叫做自然数。自然数起源于数（ shǔ
），它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。因而，自然数有两种作用，一种是计数，一种是排序，并最终形成了自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论
（一）自然数
大多数文明很早就会计数了，但数字符号的发明可能要晚于文字符号，含有数字符号加名数的文字符号并不能意味着人们已经把关于数量的感知抽象到数字符号。而只有当数字符号除了表示数量多少之外没有其它具体含义，每一个具体的事物都只是这种表示的特例时，这种表达才具有一般性。也就是说关于数量关系的第二步抽象，即符号表达必须摆脱具体内容和背景，这样才可能建立起一般地“多少”概念。
从一类事物的共同属性中抽象出“数”。
两匹马、两头驴、两个人都是 2，能抽象出
2是非常了不起的。中国历史上对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学总是带有名数。其实，世界上根本没有
2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料等等，能抽象出
2是了不起的事情。比如有 3个苹果，计数的结果是 3； 3个，虽然对象不同了，但计数的结果仍然是 3。它就跟数词“三”，数字“
3”联了起来。此时用到了有关“基数”的概念。再如，对 5个苹果进行计数的时候，不管是孩子或成人，都会嘴里念 1， 2， 3，
4， 5。当然也有的人是在心里默念的。在计数的过程当中，就已经用到了有关“序数”的概念。
（二）自然数的两大基本理论
．基数理论
当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。 19
世纪中叶，数学家康托（ G.Cantor
）以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。
两个集合 A 与 B 元素之间存在一一对应，则称这两个集合是等价的，记为
A ～ B，凡是能够彼此一一对应的有限集合构成一个等价类。等价集合的共同特征称为基数（或势）。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。从有限集合的基数来解释自然数就有如下定义：
有限集合 A的基数叫做自然数。记作“
这里所说的有限集合不包含空集（空集用 来表示）。所有等价于 的集合的基数，用符号“ 1”表示。即 =1 ， 1是自然数。如一个人的集合、一本书的集合、一张桌子的集合为等价集合，这类集合的基数用符号“ 1”表示。类似地
这样我们就可以利用集合的基数来刻画自然数以及加法、乘法运算和运算律。当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。特别地，空集 的基数就是
而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 。
．序数理论
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。对某一个有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（
G. Giuseppe Peano ，
1858～ 1932），他于 1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。
自然数的序数理论，是根据一个集合里某些元素之间有“后继” (如
3是 2的后继， 15是 14的后继
)这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按 1、 2、 3、
4、 5、 ……这样一种基本关系而完全确定下来。
定义 非空集合 N*中的元素叫做自然数
,如果 N*的元素之间有一个基本关系“后继”
(b后继于 a,记为
b=a& )，并满足下列公理：
（ 1） 0∈ N*；
（ 2） 0不是 N*中任何元素的后继元素；
（ 3）对 N*中任何元素 a，有唯一的 a&∈
（ 4）对 N*中任何元素 a，如果 a≠
0，那么， a必后继于
N*中某一元素 b；
（ 5）（归纳公理）如果 M N*，而且满足条件 :① 0∈ M；②若 a∈ M，则
a&∈ M.那么， M= N*.
这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。事实上，很容易验证，我们日常所用的全体自然数的集合满足上述定义。反之，如果把
N*中的 0放在最前面，后面紧跟它的后继数，以此类推，可把 N*中元素排成一列： 0， 0&，（
.如果选用适当的符号，如记 0&
=1， 1& =2，
2& =3，…，便是我们所熟悉的自然数列： 0， 1， 2，
（三）自然数 “
自然数 0是作为空集
的标记。在空集中，加入一个元素就得到含有一个元素的集合，就可用 1表示。从基数理论看， 1比 0多
1，这样就可以把 0写在自然数系的前面，得到一个数列： 0、 1、 2、
3、 4……。这个数列就叫做扩大的自然数系。既然 0成了扩大的自然数系里的一员，它也就取得了自然数的资格。
我国以往的中小学数学课程不将 0列为自然数，直到
1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（
GB ）《量和单位》（
11-2.9）第 311页，明确规定自然数包括 0。这才有了数学课程中 0在自然数中的“合法”位置。
“ 0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和中国宋代以前的筹算记数法，都是留出空位而没有符号。
13世纪初，意大利的商人斐波那契（
L.Fibonacci,）编著《算经》（ 1202年），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和
10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。
（四） 自然数系所蕴含的思想
．对应思想（可数的集合）
自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。
一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。而这个概念与约在公元前９世纪至公元前８世纪的古希腊荷马史诗中的一段美妙故事连在一起：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。这种方法在今天的数学上就叫一一对应。
正是这个“对应思想”，导致了俗称“理发师悖论”的
罗素悖论 的发现，引起了数学上的第三次危机。 1902 年，英国数理逻辑学家罗素（ Bertrand Russell ，
）发现的这个悖论震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾。所谓
“理发师悖论 ”，就是说，“一位理发师给不给自己理发的人理发，那么，理发师该不该给自己理发呢？”从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中的一个重要工作就是把集合论建立在一组公理之上，以便回避悖论。首先进行这项工作的是德国数学家策梅罗（
E.Zemelo ，
），他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国的另一位数学家弗芝克尔（ A.Fraenkel ）的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓
ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。正是这场数学危机，给数学发展带来了新的动力和繁荣。
．数位思想
位置制记数法是数系发展的第一个里程碑。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。
引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。最重要和最美妙的记数法则是十进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯（
Laplace,1749&&&1827
） 曾经写道：
用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。　　
拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，十进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张，英国著名科学家、中国科技史大师李约瑟
（ Joseph Needham
, ） 博士 就曾指出 “ 在西方后来所习见的 ‘ 印度数字 ’
的背后，位置制已在中国存在了两千年。 ”
不过，十进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
特别指出的是，了解自然数的一些基本数学常识，可以更好地理解中小学数学课程中的不少内容。自然数系的思想和方法已经成为当代中小学数学教师专业功底的基本内容，尤其是娴熟地驾驭小学数学课程教学内容的必备前提之一。
三、如何理解负数的数学含义及中学负数的教学把握？
（一）负数的数学含义
数是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。
从数学上来说，正负数的含义至少包括如下几个方面：
与 -a表示一对相反意义的量
引入负数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张，可以满足数学上的需要（如， 2-3可以进行运算，方程 x+2=1有解，等等）。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。
容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。
我国是最早使用负数的国家，在《九章算术》 “
方程 ”章 中就有记载 ，因为对
“方程 ”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。
中国古代数学的计算以“筹”为主，用木棍和兽骨做成的红筹表示正数，黑筹表示负数，
《九章算术》在正负术中提出了一套完整的符号运算法则。
国外最早使用负数的是印度人婆罗摩笈多，公元前 628 年左右他用正数表示财产，用复数表示负债，并提出负数的四则运算。
负数通过阿拉伯人的著作传到了欧洲。 负数的引入颇费一番周折，大多数人不接受负数。负数在西方直到 17 世纪也没有得到数学界的广泛承认，
即使是承认了，也并不认为它们是方程的根。新旧观点之间引起了激烈的冲突。如丘凯（ ）和斯蒂费尔（ ）都把负数说成是荒谬的数，是 “无稽之零下 ”。卡丹 ()&把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达
()&完全不要负数，巴斯卡（ ）则认为从 0减去 4纯粹是胡说。笛卡儿部分地接受了负数，他把方程的负根叫假根，因它比“无”更小。
直到 17世纪，笛卡儿在他的《几何学》中提出了决定正负根数目的 “笛卡儿法则 ”使得负数才在方程中获得了真正独立的地位。总之在 16、 17世纪，欧洲人虽然接触了负数，但对负数的接受的进展是缓慢的。关于正负数的大辩论延续了几百年，最后才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数。
由此，由自然数集扩张到整数集，那么我们需要在更大的集合上验证加法和乘法的封闭性。显然，整数集上加法是成立的，对于乘法需要注意的是负数与正数的乘积以及负数与负数的乘积问题。
（二）中学负数的教学把握
与以往的小学代数内容相比，小学增添了“负数”内容。引入负数，是 20世纪 90年代以来我国小学数学课程内容的一个突破点，负数 蕴涵着对立统一的思想。
在此之前，小学数学的数系尚在“非负有理数”，让小学生接触负数初步，建立数感、正确认识数系的扩张，对于完善小学生的数学认知结构，都有帮助，同时，这也是负数内容在义务教育阶段“螺旋式上升、多次出现、多次反复”的具体体现。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对“负数”课程教学内容提出的具体目标是：在熟悉的生活情境中，理解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。
需要指出的是，大千世界中充满了相反意义的概念或者量，如“奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与众，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静”，这些对立概念被两千多年前的著名的“毕达哥拉丝学派”认为是整个宇宙的 10个对立概念。从相反意义的量的广泛存在性出发，认识负数，对于完善学生的数学认知结构很有帮助。
从中学数学学习的课程教学目标出发，负数的课程教学设计的理想思路应当是：
利用相反意义的量的存在性，产生“数不够用了”的困惑
→引入负数
→会用负数表达有关的量，尤其是正确表达相反意义的量
a-b与 a+（ -b）是相等的，如此，加减法封闭
→获得负数的两个特征，一是相反意义的量，二是一种新的数，这种数的最大作用就是满足数系对加减法运算的封闭性。
当然，需要指出的是，目前的小学阶段负数的要求并不高，仅仅是初步了解负数及其表示，已经正式出现了“作为一种新的数出现”，但是，并没有正式揭示“
a-b与 a+（
-b）是相等”，亦即，尚未达到掌握“数系对加减法运算的封闭性”这一特征，而后者是初中负数的核心教学任务之一。
四、怎样理解无理数的引入？
在人们对数的认识过程中，首先接触到的是自然数 1， 2，
3……。这些数可用于数离散对象的个数。但在实际生活中有些对象不能简单地用数的方法来度量。比如长度，只能通过测量的方法来进行。在测量一个物体的长度时，是将它的长度与所取的单位长度进行比较，其结果可能会出现分数。我们定义有理数为两个整数之比就是这个道理。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为 0和 1。正整数在 0的右边，负整数在 0的左边。对于分母 q的有理数，就可以用把单位区间 q等分的那些分点表示。因此，每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。起初人们认为，这些有理数的对应点充满了整条直线（如图
但是，古希腊的毕达哥拉斯学派的人发现了直线上还存在着不与任何有理数相对应的点。特别是他发现了这样的一点 P，使得 OP的长度恰好等于以单位长度 1为边长的正方形的对角线的长度（如图 1.1-2）。后来，他们又发现了更多这样的点，它们也都不对应于任何有理数。因此，只有发明一些新的数来与这样的点对应，但这些数又不可能是有理数，所以把它们称为无理数。
直到大约公元前 37O年，由古希腊数学家欧多克斯通过给比例下新定义的办法解决了。但是，古希腊人仍然对无理数存有戒心。他们在算术、代数里坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的发展不平衡，向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近
2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代数蓬勃发展形成了鲜明的对照。
引入无理数，也就实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要。引入了无理数，也就实现了实数系关于加减运算的封闭性。无理数的定义出自
19世纪德国数学家戴德金（
R.Dedekind），他阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。其中 ,稠密性是指任意两个有理数之间存在无限多个数。
分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。
戴德金分割是指 ,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，作出这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。为了刻画无理数甚至实数，我们对无理数给出一个定义是非常必要的。
这样我们就可以用“有理数和无理数统称为实数”来定义实数了。
由研究确定的“数”发展到研究更具有一般性的“式”，是数学发展过程中一次重要飞跃。
数学是一种语言，是一种符号语言。没有哪一门学科能象数学这样大量地使用符号来表达思想。数学中不仅有表示数量的数字符号，还有代表某种固定含义的概念性符号，按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为式（即解析式），式是数学研究的基本对象。式能够方便的表达一定的逻辑含义，它标志着符号数学语言的产生，数学也因“式”的诞生而发生了根本性的变化。学生学会用符号语言表达和交流数学内容，这是初中数学课程的一项重要学习目标，也是学生必须掌握的一项基本的数学能力。
一、如何理解数学符号 ?
数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达（ Fracois
，由于他的符号体系的引入导致代数在性质上产生重大变革。数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。
（一）数学符号发展概况
古代数学很少利用抽象符号。《原本》就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，也大量求解方程，但因计算过程依赖于筹算，所以也没有使用小数点、分数和其他运算符号，
0只是用一个空位表示。公元
10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍以文字表述为主，直到
15-16世纪，数学有了重大发展，“对数”的产生、方程的求解等等都要求使用精确、简约的符号表达复杂的数学概念并进行运算。
中国古代数学之所以没能向前进一步发展和没能产生便于书写和使用的数学符号是有着密切关系的。例如， 1859年李善兰和伟烈亚力合译的第一部微积分著作《代微积拾级》中仍然用甲、乙、丙、丁代表
a、 b、 c、 d等，用天、地、人、元代表 x、 y、
z、 w，不足的符号，则用二十八宿补之（如东方七宿依次为角、亢、氐、房、心、尾、箕）。 如，
今有式：二天 三地 = 四五
,三天 三地 = 一五，求天地之同数。
这套符号读起来，宛如天书，李善兰等人创造的这套早期记号，辛亥革命后，终于废弃不用了。 1919年五四运动后，中国开始普及现代学校教育，国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。
（二）文字代表数
中文将 Algebra 译为代数，
原意就是指“文字代表数”的学问。由于用 x,y,z等字母代表未知数，用 a,b,c等代表已知数，使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解，使得“代数”几乎和“解方程”成为同义词。其实，“文字代表数”的意义要广泛得多。解方程时使用“文字代表数”，只是一个部分。
据英国 CSMS小组的研究，文字代表数有
6种不同的情况：
（ 1）给字母附值。例如，
a+5 = 8, a = ? 答案为
3的有 92%。
（ 2）忽略字母的意义。例如，已知
a+b =43,问 a+b+2 = ? 这里和 a,b
意义无关，只是一个过渡而已。（正确率 97%）
（ 3）把字母当作物体。例如，
2a + 5a = (7a)，
(a&b)+b =(a).这里的
可以看作苹果、香蕉等任何具体事物。（正确率为 86%）。上述的加法交换率，以及π r 2等 ,大体相当于这一类。
（ 4）把字母看成特定的未知量。例如，
3n 和 4相加等于多少？答案是 3n + 4.英国 14岁孩子能够正确回答的只有 36%。这表明，在列方程时“用文字代表数”的目的是表示特定的未知量，是比较困难的一类。
（ 5）把字母看成广义的数。例如，若
c+d =10, 且 c & d，判断 c的值。回答 c & 5或查 1， 2，
3， 4的，占 30%。较多的是给出 c=4 ，占 39%。
（ 6）把字母当作变量。例如，
2n和 n+2，哪一个更大？请作出解释。能够给出“当 n&2时， 2n 较大”的仅占
6% 。这是最难的一种。
根据这一研究工作， 我们在文字代表数的教学中，应该由低层次到高层次不断地孕育、巩固和提高。文字代表数的关键在于“式的运算”算术是数的运算，代数是“式”的运算。这是一个根本的差别，是学生从算术走向代数的一次飞跃过程。实际上，文字代表数只是表面现象，根本的内涵是“未知数的符号 x可以和数一样进行四则运算”。
在上述调查的第（ 4）类：把字母看成特定的未知量，是列方程的第一步。调查报告显示：已知 n+5与 4相加是多少时， 68%的英国 14岁学生能回答 n+9.但是，回答 3n和 4相加是多少时，就发生困难（仅有 36%的回答正确）。问 n+5和 4相乘是多少，则只有 17% 的学生写出 4（ n +5）或
20.因此，文字和数混合运算，还是有不少的困难。不要以为学生能够理解 2a+ 5a = 7a ，就说学生能够理解“文字代表数”。
在小学数学里，已经用字母 a 、
b 、 c 等表示已知的但是不定的数，用字母 x
表示未知而特定的。用字母表示数，它不仅可以参与运算，而且在运算中适合数所具有的普遍性质，如交换律、结合律、分配律等基本运算定律。从数学发展的历史来看，也正是由于算术中引进了表示数的符号，由此扩展到由字母表示数，才产生了代数这个重要的数学分支。
在小学里，已经使用符号来代表数。例如，问 5+（） =12？就是用括号代表所要求的数，括号也是符号。进入初中学习“代数”，正式提出“字母表示数”的课题，要求用字母 x代替要求的未知数。我们通常把利用字母表示的数学符号称为形式符号。一旦数学引入了形式符号，符号语言就开始发挥重大的作用。一系列的名词也随之出现：未知数，解析式，代数式，项，元，方程，解方程，方程的解或根，变量，函数等等。字母表示数打开了一个全新的数学天地。
文字代表数，是数学进步的一个重要的里程碑。文字代表数的真正价值在于：“文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、
积分运算等等。”
二、如何理解 解析式？
解析式是初中代数课程的一个主要内容，学习研究各种解析式的变形规律。在学习代数课程的一些主要内容，如方程、不等式、初等函数等，都要以解析式为基础，在学习其它平行学科，如初等几何、解析几何、物理、化学甚至在高等数学中证明和计算时，也都离不开解析式的恒等变形。所以学生明确理解有关解析式的一些概念，掌握它们的一些性质和运算法则，能够熟练地进行解析式的变形是初中代数必须完成的一项任务。
（三）代数式
（一）解析式的含义
数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合叫解析式（或表达式）。
……都是解析式。解析式中的字母可以有不同的含义，它可以表示数，可以表示向量、矩阵、物理量等，但这些不同的含义并不影响它适合基本运算规律和变形规则。
在初等数学里所指的运算，是指有限次的加、减、乘（包括自然数次乘方）、除这四种算术运算（也称四则运算），开方运算、指数运算、对数运算、三角运算和反三角运算。其中算术运算、开方运算总称代数运算。在指数运算中，当指数是有理数（有理数次乘方）时，它可以归结为自然数次的乘方运算和开方运算，所以也是一种代数运算；指数为无理数的指数运算（无理数次乘方）、对数运算、三角运算、反三角运算统称为初等超越运算。
因此，根据
解析式所含的运算种类不同，解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式，没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是
包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。分类如下图
1.2-2 所示。
当然，进行分类的时候也要视具体问题具体分析。例如，分类若针对某个字母的运算
（二）解析式的恒等 变形
设 表示某一个解析式，它包含字母 …
对于字母的每一组允许值，解析式
都有确定的值与之对应，通常称为解析式的值，而所有字母的允许值所做成的这样数组的集合称为解析式的定义域。因此，两个解析式 、
，如果对于字母的一切允许值它们对应的值都相等 ,
称这两个解析式在字母允许值范围内是恒等的，记为 = ，两个数字式若有同一的值，也叫恒等。如
把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。这里要注意的是两个解析式的恒等概念是相对的，对于字母的某一个允许值的集合两式可能恒等，对另一个集合可能不恒等。
就不相等。
在初中解析式的恒等变形教学中有一点是需要我们注意的。小学生习惯于数的运算相等变形，例如，
这一连串的等式，在数值上都是相同的。所以可以连写。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是，解方程时的同解变形，不是恒等变形，于是，仍旧用算术思维进行处理，就发生重大错误，教学上宜将二者区别开来。
数学的符号语言——代数式在初中数学学习中是非常重要的内容。当列方程、用字母表示数之后，数学便以符号构成的代数式作为主要研究对象。我们所学过的数学，大多数是用符号语言写成的公式、方程、函数、等式、微分、积分、矩阵等等。
数学语言中的符号则不仅仅是简单的符号约定，合理的符号体系是逻辑演绎的有力工具。符号的选取，符号之间的连接，有其内在的逻辑，能够表达复杂的逻辑含义。一个数学模型，往往就是一个用符号写成的方程。方程并非符号的堆砌，而是一种科学规律的简洁表示，具有深刻的内涵。数学符号语言往往通过运算、变换等等手段显示其千变万化的功能。
用字母表示数，是数学发展的一次飞跃。从此数学研究的对象从数拓广到代数式。因此可以说代数式是在数系基础上发展起来的。数和数的运算主要是发展算术思维，而对于代数式的学习则可以实现从算术思维向代数思维的过度。学习代数式不仅有利于形成现代数学的基本思维方式，而且有利于后继课程的学习。
在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类：
）代数运算：加、减、乘、除、指数是有理数的乘方；
）初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。
因此我们定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算（不管是否含有对字母的代数运算），那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。
对于代数式还可以进一步分类：
只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；
在有理式中，只含有加、减、乘（包括指数为自然数的乘方）运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。
理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。而代数式等数学符号语言的运用使复杂的数学推理成为可能。能够驾驭各种符号系统进行必要的运作，并借以表达丰富的数学思想，是任何一个数学工作者所必须具备的能力。我们强调学习数学的重要性，原因之一在于数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。
因此，对数学教师来说，能否通过代数式的学习帮助学生掌握符号语言的运用，是教学能否取得成功的关键之一。初中代数式的教学中要结合现实情境，让学生学会从具体的情境抽象出数量关系，理解符号所代表的实际意义，锻炼学生的数学表达能力，最终具有较强的符号意识。
三 、“数”发展到“式”的意义是什么？
今天，几乎小学生都会用字母来推演公式，比如从数字运算中抽象出四则运算的运算法则等等。但是，人类从“数”的具体运算到利用“式”或者符号进行抽象的运算，却经历了漫长的岁月。而这一数值计算过程的符号化过程，不仅导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，也包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，也即实现了代数化将直接导向数学的机械化，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，也成为近代数学的显著特征。由此可见，人类从事物抽象到数字固然实现了人类抽象思维的第一次飞跃，然而从数字到符号表达的第二次抽象对人类思维和发展的影响无疑更加巨大，更有划时代的意义。
“数感”和“符号感”是
《数学课程标准》中提出的重要概念。我们可以认为， number
sense 与“数感”（即对数的“感悟”）的含义基本相同，既有感知的成分又有思维的成分，用对数的“感悟”来解释其意义比较恰当。单纯用“感知”、“观念”、“知识”似乎不能确切表示它们的意义。之所以用“感悟”这个词，是因为有许多的能力不仅仅是通过书本的学习就能获得的，而且是需要实践并且在实践中有意识、有目的地反思，这就是一种感悟。把“数感”理解为对数的“感悟”，也与《数学课程标准》中强调实践、经历、过程的宗旨是一致的。
数学符号具有两种重要的属性。一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号赋予了抽象的数学概念以具体形象，这样就是的看不见、摸不到的抽象的数学思维能在看得见的形式下进行，通过具体符号的链接，使复杂的思维过程一步步具体显现出来。相反，不借助于数学符号的思维只能前进有限不，并且很难深化。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。
第三节 等式和方程
在现实世界中，两个量在有些情形之下是可以相等的。数学学习中的某些任务就是要找出那些相等的数量关系。例如，列方程，比例关系，函数的表示，以及几何中的勾股定理等等都是等式。等式的变换是数学学习的基本技能，从合并同类项、配方、因式分解，到方程的同解变形，函数的运算变换，三角函数的恒等变换等，贯穿整个初中数学学习的始终。
一、如何理解方程发展的概况？
从人类的早期文明到现代社会，方程的思想无处不在。方程的概念也随着数学的发展而不断变化，从经典的代数方程到微分方程、积分方程，方程的理论无疑是数学中最重要的内容之一。
丢番图是活跃在公元 25年前后的希腊数学家，他最重要的著作是《算术》，该著作中讨论了一次方程、二次方程和个别的三次方程，还讨论了大量的不定方程。丢番图引入了未知数，创设了未知数的符号，并有了建立方程的思想，但是并没有给出一元二次方程的解法。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元
628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。最终完成这项工作的是被誉为“代数学”之父的韦达。
中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，其中包含了许多方程问题。 13 世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。 1247年，秦九韶给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（ 1248年）和朱世杰使用的“四元术”（
1303年）能够求解一大类的高次联立方程，使中国传统数学达到了顶峰。
世纪最伟大的数学成就就是发现了三次方程和四次方程的求根公式，于是人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但都以失败而告终。
19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。进入
20世纪，数学继续向纵深发展，对于一般的线性方程组的求解和实际算法，已经有了非常成熟的理论与实践。至于一般的多元高次方程组求解，也取得了许多成果，例如费马猜想已经最终解决。但是任意多元高次方程的解（代数流形）是一个非常复杂的代数几何问题，它与现代数学许多重要分支相关联。
许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的。例如，由于对方程
和三次方程根的讨论二产生了复数；当用变量的观点来讨论方程时，函数思想也就蕴含其中了；在研究高次方程的解法时，产生了伽罗瓦理论，导致以“群、环、域”为研究对象的近世代数；为了解多元一次方程组，产生了矩阵理论与线性代数；方程与微积分结合产生了微分方程和积分方程。
二、如何理解方程的含义及分类？
方程是代数课程的重要内容之一，它也贯穿于整个数学课程，从小学开始的简易方程，到初中的有理数方程，再到高中的超越方程。方程的种类是数学概念类别中最多的，但无论是哪一种方程，都遵循着方程的基本思想。
（一）方程的含义
几乎所有的教材都这样定义：“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。西南大学的陈重穆教授就曾经指出：“含有未知数的等式叫方程“这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义。
为什么这样说？理由很多：
函数也是含有未知数的等式 s = vt, y =
1/x, 容易和方程混淆；
a + b = b+a ,
也是含有字母的等式， 是不是方程？
我们并不是要研究一切含未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻求未知数的方程，才去面对。例如， 0· x=0 , x&x
=0,这样的等式，我们是不研究的，因为他们不能帮助我们寻求未知的信息。
方程的核心是要“求”未知数， 在定义中没有体现。
因此，这一定义可有可无，没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。不反映
一个对象的定义，最好能够帮助人们进行理解。正如认识一个人， 光靠一张照片是不够的， 至少需要一份简历。好的定义相当于一份简历。
国内已故的著名数学家关肇直也曾说过：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，
可以知道未知量与已知灵之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量来。这就是解方程的问题”
因此，替代地有以下的方程定义。
“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”
这样定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。
实际上，方程思想，来源于人们的生活现实。为了结识一位未知的先生，我们通过熟人作为中介进行介绍，借助这层关系得以认识这位不熟悉的先生。方程的定义主要是以形式方面的特征为标准的。
判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数，方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。同一个方程的解随着未知数的取值范围不同而不同。例如，方程
在有理数范围内只有一个解 ；在实数范围内有三个解 ；而在复数范围内有五个解
。也就是说，在实数集上可能无解的方程，在复数集上却可能有解。因此，方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。
(二）方程的分类
方程分类的根据构成方程的表达式的结构，解的个数和未知数的个数等进行具体分类。依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。
在初等数学里代数方程可按照组成的等式的表达式的形式结构，分成以下几类：
方程按照它所含有的未知数的个数来分类：一元方程、二元方程、多元方程等。
将这些标准联合起来就可以获得我们课程中方程的名称了，比如一元一次方程等。一个整式方程名称中的“元”的个数是看方程中未知数的总数。“次”是指所有未知数中的最高次数。这种形式上的分类便于判断。并引起对解法的联想。
多元方程的解是由多个未知数的解联立构成的。也就是说，多元方程解也必须写成联立的方式。比如方程组的解不能写成：
联立的形式能够表示未知数的对应关系，所以在求解后还必须根据解的关系写成联立的形式。
超越方程不能像代数方程那样严格地加以分类，例如，方程 就不能说它是指数方程还是三角方程。
另外，由于方程是在指定的数集上研究的，并且要用到解析式的感念和恒等变形、以及有关函数的知识。所以一方面要保持本身的系统，同时也要考虑到这些有关知识在初中数学课程中的扩展。除此之外，还要考虑到学生的接受能力。
在教学中要正确掌握教材内容的深广度，注意与其它有关知识的联系，要使学生掌握如“转化”、“降次”、“消元”等解方程、方程组的基本思想方法。在解方程的过程中，应该着重培养学生合理表达的能力，应该要求学生在推演过程中，要考虑根据什么，初学时可以要求学生解答中做书面说明，熟练以后就可以省略。
三、方程的核心思想是什么？方程建模应该如何理解？
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。
（一）关于方程的核心思想
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。《数学课程标准》指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。例如，行程问题，工程问题，折扣问题，百分比问题等许多不同领域中的数量关系，最后都可以归结为关于
x 的一元一方程 ax =b（一般地有 ax± b =cx± d）。这样的方程，是这类问题的共同数学模型。
可以说，算术是一种算法，依照给定的程序，可以的出要求的未知数；方程是一种模型，反映出所研究问题中存在的某种相等关系。比如，已知物体匀速运动，速度是
50千米 /小时。位移 100千米需要多少时间？算术方法只是给出 100& 50的算式。方程则要给出模型 50 x = 100，这是一个等式关系即一元一次方程。
有人认为，小学数学早就有方程了，例如，用□表示未知数，并要求回答：
这是四则运算的逆向思考，对求解方程非常有用。但是，这样的训练，还不是建立数学模型。这里的等式关系是已经给出的，并非为了寻求未知数由学生自己而建立起来的。因此，这还不是学习方程思想的核心。
当然，数学理论中有些方程并不依赖某个实际过程，而是一个独立的数学领域，具有深刻的纯粹数学的价值。多元高次方程的求解是一个十分困难的课题，至今仍是数学家研究的重点。例如，费马猜想：
（二）关于方程建模
大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。例如，军事上的弹道方程就是斜抛物体的运动方程。人类经常关心天气的变幻，当大气的状态用温度、压力、风速与风向等物理量描述时，各种量之间的相互关系构成大气方程。我们的天气数值预报，就是解这些方程求出未知的数据。在电磁学中，有麦克斯韦的电磁学方程。现今的信息时代，电视、手机、电子计算机是我们获得信息的工具，它们的运行规则取决于电磁学方程。
初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上，必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是从现实生活到数学的一种提炼过程，一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。因此，初中数学学习必须学会抽象——将关系抽象为数学符号。
初中数学方程的教学可以依赖大量的现实生活问题，以往的应用是列方程应用题。即在实际问题中，一般不知道某些量的大小，但知道这些量所满足的条件。也就是未知量所满足的等量关系，用
等字母表示未知数后，就可以按照未知量所满足的关系列出方程。
但是，以往的方程设计思想的一个误区恰恰是把思路搞反了——方程问题本应该“先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题”，而不是“先给出形式化的方程定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用”。甚至以往的教学我们总是给出利用方程求解应用题问题的一般步骤：审题、设元（未知数）、列方程、解方程、检验、答案等等。这样的教学不是真正意义下的应用题。
事实上，可以把事情表述得更原本一些。无论如何，要使学生真正知道方程是怎么回事，要通过两三个典型的问题，再现方程建模的全过程，才能让学生真正理解方程的含义。
四、 方程的常见解法有哪些？
“方程”是一个深刻的思想，具有无穷无尽的发展空间：代数方程，微分方程，不定方程等不一而足。但是，小学数学只处理简易方程，即只限于形如
ax± b=c， ax±
bx=c的方程。在列方程的过程中，涉及到简单的一次“式”的运算，这类方程的求解，无非是通过方程两边同时加、减、乘一个数、以及除一个非 0的数，等式不变，以最后出现 x=m，作为问题的解而结束。为了避免出现负数，问题中的所有的数据都不得不精心安排。
事实上，小学生学习方程的困难，主要在于：
不能很快理解已知数和未知数的平等关系。表现为，设了未知数 x，但总想列出总式 x＝……（右端不含未知数）。这是披着代数外衣的“算术解法”。
（ 2）不能很快理解用字母表示已知数，取得问题的公式解。
（ 3）一个常见的书写错误是不能区分恒等变换和同解变换。例如，解 x＋ 3＝ 6，学生会写成： x＋ 3＝
6＝ 6－ 3＝ 3；
2x＋ 3x＝ 10＝ 5x＝
这是把算术中的等号用法搬到代数里来，把“＝”看成一个指示你去做运算的记号（ 6－ 3＋
1＝ 3＋ 1＝ 4）。皮亚杰的心理学研究结果表明， 9-12岁的儿童已经有守恒意识和逆向思维能力。方程的建立，借助守恒思想得到等式关系，而在求解建议方程时，借助逆向运算得到方程的解。现在，小学
5-6年级能够理解简易方程的建立及其求解过程，已经被全世界的数学教学所证实。
上面我们已经提到初中阶段的方程学习一是要体会方程建模的思想，二是学会解方程。初中数学方程的常见解法有：换元法、因式分解法、图像法。
五、如何理解等式与方程的关系？
在中学教学中，建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。
方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等。而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。
在方程课程设计时，可以以一个问题（如“鸡兔同笼”问题）为主线，将一元一次方程、二元一次方程组等内容统一编排，一气呵成。“鸡兔同笼”问题用算术能解，用一元一次方程、二元一次方程组也能解。在这里，方法越简单，思考越复杂，相比之下，用四则运算解此题最复杂；列二元一次方程思考简单，但解方程时却复杂；而一元一次方程则是比较中庸的思想，既不是很复杂，也很好计算。
在方程一开始的教学设计时，就该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题。这种数学思维的训练，对于学生以后的学习、生活都是至关重要的。
总之，等式和方程是初中数学课程的重要内容，是教学的重点也是难点，只有充分理解了二者的核心思想和本质关系才能更好地实施教学。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，但是，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等。而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以是随机的相等。因此，初中数学教学中方程的教学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题。这是一种思维的训练，对于学生进一步学习其他数学内容是至关重要的。
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