圆周长3.14米,求全面积等于多少平方米(圆周率取3.14)
桃花YA38WC91
周长=2πR=2×３.１４×Ｒ＝３．１４米,Ｒ＝０.５米,面积＝πＲＲ＝３.１４×０.５×０．５＝０．７８５平方米
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半径2.5米 2.5的平方乘圆周率 得196.25平方米
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根据圆的面积等于：圆周率乘以半径的平方 得3.14*2.5^2=19.625
直径5 半径2.5 面积S=6.25π 约等于19.6
笨蛋 是78.5平方米
扫描下载二维码这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~数学家是怎么求出圆周率的?（用哪个数除以哪个数)是不是用周长除以直径的?哪周长和直径各式多少哩?
ENIAC：一个时代的开始 1973年,有人就把圆周率算到了小数点后100万位,并将结果印成一本二百页厚的书,可谓世界上最枯燥无味的书了.1989年突破10亿大关,1995年10月超过64亿位.日,《文摘报》报道,日本东京大学教授金田康正已求到亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,令每页印2万位数字,那么,这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机,计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数,改写了他本人两年前创造的纪录.据悉,金田教授与日立制作所的员工合作,利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机,使用新的计算方法,耗时四百多个小时,才计算出新的数位,比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率小数点后第一兆位数是二,第一兆二千四百一十一亿位数为五.如果一秒钟读一位数,大约四万年后才能读完. 不过,现在打破记录,不管推进到多少位,也不会令人感到特别的惊奇了.实际上,把 π 的数值算得过分精确,应用意义并不大.现代科技领域使用的 π 值,有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： “十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.” 那么为什么数学家们还象登山运动员那样,奋力向上攀登,一直求下去而不是停止对 π 的探索呢?为什么其小数值有如此的魅力呢? 这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪,但除此之外,还有许多其它原因. 奔腾与圆周率之间的奇妙关系…… 1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前,当Intel公司推出奔腾（Pentium）时,发现它有一点小问题,这问题正是通过运行 π 的计算而找到的.这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一. 2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算.实际上,确切地说,当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时,这并非意味着计算方法上的改进,而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术,研究出更好的计算公式,使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面,本世纪印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果.他发现了许多能够迅速而精确地计算 π 近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路.现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的.至于这位极富传奇色彩的数学家的故事,在这本小书中我们不想多做介绍了.不过,我希望大家能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利,而不是机器的胜利. 3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去?答案是：不行!根据朱达偌夫斯基的估计,我们最多算1077位.虽然,现在我们离这一极限还相差很远很远,但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束,就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算,不管用什么公式都必须从头算起,一旦前面的某一位出错,后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗?他就是历史上最惨痛的教训. 4、于是,有人想能否计算时不从头开始,而是从半截开始呢?这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年,圆周率的并行算法公式终于找到,但这是一个16进位的公式,这样很容易得出的1000亿位的数值,只不过是16进位的.是否有10进位的并行计算公式,仍是未来数学的一大难题. 5、作为一个无穷数列,数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位,能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题,可以发现许多迷人的性质.如,在 π 的十进展开中,10个数字,哪些比较稀,哪些比较密? π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?或许它们并非完全随意?这样的想法并非是无聊之举.只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单,许多人司空见惯但却不屑发问的问题. 6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同.正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值的错误立下了汗马功劳.然而,猜想并不等于现实.弗格森想验证它,却无能为力.后人也想验证它,也是苦于已知的 π 值的位数太少.甚至当位数太少时,人们有理由对猜想的正确性做出怀疑.如,数字0的出现机会在开始时就非常少.前50位中只有1个0,第一次出现在32位上.可是,这种现象随着数据的增多,很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999,440个0；……60亿位以内有599,963,005个0,几乎占1／10. 其他数字又如何呢?结果显示,每一个都差不多是1／10,有的多一点,有的少一点.虽然有些偏差,但都在1／10000之内. 7、人们还想知道： π 的数字展开真的没有一定的模式吗?我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布,寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话,迄今为止尚未发现有这种模型.同时我们还想了 π 的展开式中含有无穷的样式变化吗?或者说,是否任何形式的数字排列都会出现呢?著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的十进展开中是否有10个9连在一起?以现在算到的60亿位数字来看,已经出现：连续6个9连在一起.希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的,看来任何数字的排列都应该出现,只是什么时候出现而已.但这还需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据. 8、在这方面,还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始,均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了这八个数字,这恰是的前八位；小数点后第2747956位起,出现了有趣的数列,遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列也出现了. 如果继续算下去,看来各种类型的数字列组合可能都会出现. 拾零： π 的其它计算方法 在1777年出版的《或然性算术实验》一书中,蒲丰提出了用实验方法计算 π .这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀,长度为 d 的细针,并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见,常取 l = d/2）,然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上.这样反复地投多次,数数针与任意平行线相交的次数,于是就可以得到 π 的近似值.因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd .利用这一公式,可以用概率方法得到圆周率的近似值.在一次实验中,他选取 l = d/2 ,然后投针2212次,其中针与平行线相交704次,这样求得圆周率的近似值为
= 3.142.当实验中投的次数相当多时,就可以得到 π 的更精确的值. 1850年,一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后,得到 π 的近似值为3.1596.目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼.在1901年,他重复这项实验,作了3408次投针,求得 π 的近似值为3.1415929,这个结果是如此准确,以致于很多人怀疑其实验的真伪.如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑. 不过,蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值.蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计算 π 的这一方法,不但因其新颖,奇妙而让人叫绝,而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河,是用偶然性方法去解决确定性计算的前导. 在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现,两个随意写出的数中,互素的概率为6／π2.1995年4月英国《自然》杂志刊登文章,介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯,如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率.马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析,计算它们位置之间的角距.他检查了100万对因子,据此求得 π 的值约为3.12772.这个值与真值相对误差不超过5％.
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扫描下载二维码《圆单元》教材分析
《圆单元》教材分析
教材解读　　本单元的内容安排四个部分的教学：第一部分，认识圆的基本特征以及圆的圆心、半径和直径，学会用圆规画圆；第二部分，探索并掌握圆的周长公式，理解圆周率的含义，应用圆的周长公式解决一些实际问题；第三部分，探索并掌握圆的面积公式，应用圆的面积公式解决一些实际问题；第四段，确定起跑线，是建立在圆的概念和圆的周长等知识基础上，提高学生综合运用所学的知识来发现生活中所蕴涵的数学问题，确定起跑线的位置，以及灵活分析问题、解决问题、符号化思考的能力。
教学目标　　1、使学生在观察、画图、测量和实验等活动中感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径；能用圆规画指定大小的圆；会应用圆的知识解释一些日常生活现象或解决一些简单的实际问题。　　2、使学生经历操作、猜想、测量、计算、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，理解圆周率的含义，熟记圆周率的近似值，掌握圆的周长和面积公式，并能应用公式解决相关的实际问题。　　3、使学生在活动中进一步积累认识图形的学习经验，体会等积变形、转化等数学思想方法，增强空间观念，感受数学文化，发展数学思考。　　4、使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
教学重难点
　　用操作支撑对圆的认识和对圆的周长、面积公式的探索。　　逐步探究圆的周长和面积公式。学生已有知识基础　　本单元内容是在学生已经初步掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的基本特征及其周长、面积公式的基础上进行教学的。
对后继学习的作用　　从认识直观图形到认识圆这样的曲线图形，不仅能拓宽学生的知识面，丰富学生“空间与图形”的学习经验，而且也能给学生探索学习的方法注入一些新的内容，使学生的空间观念得到进一步的发展。本单元的知识也是今学习圆柱、圆锥等知识和绘制简单统计图打基础。
课时设计：
本单元可用10课时进行教学：
　　圆的认识…………………………………2课时　　圆的周长…………………………………2课时　　圆的面积…………………………………3课时
环形面积…………………………………1课时确定起跑线………………………………1课时
整理复习…………………………………1课时
教材编写的主要特点
（1）重视从现实生活中引入学习内容。
（2）重视学生的操作活动，重视学生对圆的周长和面积公式的探索过程。
（3）渗透数学方法，拓展学生思维。
（4）强调所学知识在现实情景中的应用。
单元教学提示
1. 加强操作活动，给学生的思维提供表象支持。
2. 突出探究性活动，让学生经历计算公式的推导过程。
3. 紧紧围绕发展学生空间观念这一主题展开教学。
具体编排：
一、圆的认识
教材的编排思路是先借助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征。
我们可以对原有的教学思路进行调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，又可以借助媒体，将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有效整合进本课教学，充分放大圆所内涵的文化特性，努力折射“冰冷”图形背后所散发的独特魅力，让数学课堂厚重些、开阔些、美丽些……
具体教学：
为了最大化地落实这部分的教学目标，有效地突破重点、难点，在教学中我们可以设计“情境感知，诱发动机”“自主探究，体验成功”“解决问题，实践应用”“
总结，升华圆的认识”四个教学环节。
（一）情境感知，诱发动机
课的开始让学生展开联想的翅膀，说出生活中的圆，丰富学生的感知。
师：今天，老师也给大家带来一些。见过平静的水面吗？如果我们从上面往下丢进一颗小石子你发现了什么？
师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看。
师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？
通过感受大自然的神秘，强烈地诱发了学生的探究动机，使学生带着追根溯源的强烈好奇心进入了新知的探索阶段。
（二）自主探究，体验成功
1.尝试画圆，掌握方法。
首先让学生在已有经验基础上第一次尝试用圆规画圆。接着让学生猜猜部分学生画圆失败的原因。随后教师进行总结：手握柄,中间扎的地方固定,两脚的距离不能变,轻轻的绕一圈。在此基础上学生尝试第二次画圆。这一环节的教学，教材上是在认识圆的特征之后进行教学的，我们可以把它提前，六年级的学生已有一定的生活经验，而且部分同学可能提前预习，这样做是为了尊重学生已有的知识基础和激励其他同学积极主动的学习。培养了学生敢于尝试，勇于创新的精神。并且学生在画圆的过程中还会产生对圆的特征的思索，利于激发学生进一步学习的主动性。在掌握画圆的同时还感知到了圆的概念。
2.在“做”中探究。
顺着学生在画圆中所产生的模糊认识引出这三个概念。师：在用圆规画圆时什么不能改变？中间扎的地方固定,两脚的距离不能变。中间扎的地方叫圆心，你能在图中用线段表示出两脚的距离吗？这条线段叫圆的半径。接着让学生用圆规画一个比原先大一些的圆：为什么同一个圆规却画出两个不同的圆？引导学生理解圆心和半径的作用。这时可能有学生已经对半径的条数产生了思考，教师及时提问：一个圆里只有一条半径吗?学生联想画圆的过程及图形会回答不是，接着让学生说说想法：圆是一种曲线图形,它的表面非常平滑；半径是圆心到圆上任意一点的线段,圆上有无数个点。既然圆有无数条半径,那么它的长度怎么定呢?让学生动手量一量。早在2000多年前,中国古时候的哲人也对这个问题进行了研究：圆,一中同长也。这个同长,不只是半径同长,还有直径。那怎样的线段叫直径呢?你能在这个圆上比划比划吗?让学生认识直径。接着提问：同一个圆内，半径有无数条,而且都相等，那直径呢? 生:也有无数条,直径都相等。重点让学生明确同一个圆内直径都相等。有的学生会通过量长度去验证。师提问：有没有同学说我不量也知道这个结果?学生可能会发现半径与直径的关系，因为所有的半径都相等，而一条直径可以分成两条半径。从而总结出同一个圆内直径都相等。并由此引发学生对同一个圆内直径与半径关系的思考，组织学生进行探究、总结。
3.内化知识，再度画图。画一个半径3厘米的圆。与前一次的画图不同，这时学生已对圆有较清楚的了解，并不是一个简单的操作了，而是有圆的初步知识做基础的有意识的行为。
整个环节都让学生在动手操作与合作交流中感悟、体验、认识圆的各方面知识。他们变被动的操作为主动的探究，不是在学数学，而是在“做数学”和“数学的思考”。把学生的学习过程统整在综合性和探究性的研究活动中，学生对圆的特征的认识过程就是一种研究与发现的过程，是一种对话与共享的过程。学生在获得基本知识和技能的过程中，数学思维不断发展，同时也获得了积极丰富的情感体验。
（三）解决问题，实践应用
这一环节是巩固本节课所学知识，灵活应用这些知识解决问题，为此，我安排了如下两组练习。
第一组练习是巩固练习
1、我能找：
（强调半径和直径的特征）
2、我能说：对的打“√”，错的打“&”。
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
两端都在圆上的线段叫直径。　　　　
　（　　）
圆里有无数条半径和直径。　　　&&&
&　（　　）
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
半径2厘米的圆比直径3厘米的圆大。　& （&&&
3、我能填：（在同一个圆内）
该组练习运用多媒体主要是为了加强练习的密度，通过练习加深理解，消化巩固本节课所学的知识。
第二组练习可通过一些拔高练习达到知识的进一步深化。
（1）老师带领同学们在操场上做游戏，需要在操场上画一个直径是10米的圆，可是没有这么大的圆规，怎么画呢？请同学们帮老师想个好办法。
（2）平静的水面丢进石子，荡起的波纹为什么是一个个圆形？现在，你能从数学的角度简单解释这一现象了吗？
（3）车轮为什么是圆形的？车轴应装在什么位置？
（4）圆与人文。
①中国古代的圆：阴阳太极图
想知道这幅图是怎么构成的吗？原来它是用一个大圆和两个同样大的小圆组合而成的。
现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢？
②借助多媒体，直观地为学生展示圆在人类历史、生活、文化、审美等各个层面的广泛应用，比如“圆与桥梁设计”、“圆与中国剪纸”、“圆与中国结”、“圆与中外建筑”、“圆与著名标志设计”等，引导学生感受圆与人类生活的密切关联，体会圆的美学与人文价值。
设计这组练习的目的是以生活中的实际问题进一步激发学生的思维，并把所学知识延伸到课外，使学生初步感受到数学知识来源于生活，又服务于生活，进一步体会数学与生活的联系，从而培养学生的运用意识和用数学知识解决生活中的一些实际问题的能力，增强学生学习数学的信心。
4、总结，升华圆的认识。
⑴同学们，通过这节课的学习，你有什么收获和大家分享？
⑵我们生活的每一个角落，圆都在演绎着重要的角色，并成为美的使者和化身，正因为有了圆，我们的世界变得如此美妙而神奇。
二、圆的周长
根据教学内容、特点和学生的认识规律，在教学中我们可以采取演示法使学生认识圆的周长，渗透转化思想。利用实验法引导学生认识理解圆周率，并推导出圆周长计算，培养学生操作技能技巧，提高学生分析、比较、推理、概括的能力。最后运用自学辅导法，提高自学水平，培养“说”的能力。为了突出重点，突破难点，在教学设计中我注意层层设疑，给学生造成思维冲突，从而“逼着”学生去思考、测量、计算，最终发现圆的周长与它的直径的关系。同时在教学中，注意独立思考，合作操作，小组交流，学习形式的交互运用，达到发展智力，培养能力的目标。
（一）创设情境，揭示课题
教学一开始可以设计这样一个问题：两个遥控模型机器人分别沿两种不同形状的赛道进行比赛，一种是边长为4.7米的正方形，另一种是直径为6米的圆形，如果它们同时、同速从一点出发，那么谁先到达原出发点呢？
学生通过思考后会回答：“只要比较这两个图形的周长就可以了，周长小的即路程短，在同速情况下路程短的那个机器人先回到原出发点。”
由于正方形的周长我们已经会求，那么圆的周长怎么求呢？这样就非常自然地过渡到了教学课题：圆周长的求法。
（二）探究课题，发现新知
1．观察猜想
接着，教师设问：“正方形的周长与边长有关，那么圆的周长与什么有关呢？”
教师再出示一组大小不等的圆。
学生通过观察后会回答：“圆的周长与直径有关，直径越长，圆的周长也越长。”
接着，教师继续设问：“正方形的周长是边长的4倍，那么圆的周长和直径是否存在倍数关系呢？”
通过正方形与圆形的比较，使学生体会到科学猜想不是什么空穴来风，而往往是通过已知事物与未知事物的比较而产生的。
2．操作实验
为了研究圆的周长和直径是否存在倍数关系，接着，教师引导学生们俩俩合作，用绳子、直尺等工具将已经准备好的物体的周长和直径测量出来。通过测量，培养了学生的动手操作能力和合作精神；通过测量，让学生亲身体会周长和直径的测量方法。
在这个步骤中的难点是：如何测量圆形物体的周长和直径呢？
估计学生通过讨论后会回答：“测量直径的方法有两种：一，是将两把三角尺夹住圆形物体，并测量出两把三角尺之间距离的方法；二，是找出圆中最长弦的方法。
测量周长的方法也有两种：一，是用绳子围绕物体一周的“绕绳法”；二，是将圆形物体在直尺上滚动一周的“滚动法”。值得一提的是，在测量周长的两种方法中，都体现了“化曲线为直线”的转化思想。
因为需要研究周长和直径是否存在倍数关系，接着，教师引导学生把周长除以直径的商计算出来并相互比较，结果发现这个商的值始终是3倍多一些。但由于测量中的误差，同学们计算出来的商的值并不是一个固定的数，那么这个商是不是一个固定的数呢？
3．证明猜想
由于同学们的认知水平有限，对于圆周率的研究只能处于直观实验阶段，因此，在得出3倍多一些这个结论后再由教师带领学生沿着前人的足迹来完成对圆周率的理解，介绍圆周率的历史。
4.推导公式
了解了圆周率的史实以后，教师设问：“以后我们再求圆的周长，还需要再用实验的方法吗？”学生当然会回答：“不需要。”
理解了推导公式的必要性以后，公式推导就顺理成章了。并且，在公式推导的过程中，注意培养学生的分析、交流以及概括的能力。
（三）实际应用，熟悉新知
1、出示口答题，要求学生说出思路。
⑴d=3厘米　c=?
⑵r=3厘米　c=?
2、课件出示花瓶的相关问题。
⑴一张圆桌面的直径是0.95米，求它的周长是多少米？（得数保留两位小数）
⑵花瓶最大处的半径是15厘米，求这一周的长度是多少厘米？
⑶花瓶最大处的半径是15厘米，求这一周的长度是多少厘米？
⑷花瓶瓶口的直径是16厘米，求花瓶瓶口的周长是多少厘米？
⑸钟面直径40厘米，钟面的周长是多少厘米？
⑹ 钟面分针长10厘米，它旋转一周针尖走过多少厘米？
学生回答后教师引导学生订正，并强调难点问题。
3、喷水池的直径是10米,要在喷水池周围围上不锈钢栏杆2圈,求两圈不锈钢总长多少米?
4、出示思考题，学生课下完成。
⑴汽车车轮的外直径1米,每分钟旋转100周,车站到学校要行8分钟,车站到学校距离多少米?
⑵如图所示求A、B两条小路的长度（单位：米）
⑶如图所示，求跑道内圈一圈长多少米？(单位：米）
设计意图：精选练习，加深理解，巩固所学知识解决难点问题，检验课堂效果，培养学生自主学习的习惯和能力。让学生充分体会到数学来源于生活又作用于生活的思想。
（四）布置作业，拓展创新。
1、让学生用测量从家到学校的路程，提高学生用所学知识解决实际问题的能力。引导学生思考、讨论需要测算哪些数据。
2、学校门外有一棵大树，你们有什么办法可以测量出这棵大树截面的直径？
3、布置学习摘录（我眼中的“π”）的目的，是培养学生课外研习的习惯。
通过开放性的题目，让学生体验学习的乐趣，极大地调动学生学习的积极性，拓展学生思维。
（三）圆的面积
考虑到本节课的教学内容相对抽象，学生抽象逻辑思维尚未成熟，所以使用多媒体作为辅助教学手段，变抽象为直观，促进学生对知识的感知，帮助学生理解，激发学生学习的兴趣。
教学过程：
一、问题引入：
课的开始教师以谈话方式说：同学们，这几天我们都学了什么内容？学生畅所欲言，汇报已学过的有关的知识，今天我们继续来学习有关圆的知识。
课件出示图片，这是一个草地自动浇灌器。要想知道这个自动浇灌器转动一周可以浇灌多少草地，求的是什么？学生回答：圆的面积。
教师让学生伸出右臂，用手臂代替自动浇灌器，在空中旋转一周，让学生感受到手臂旋转一周所覆盖的区域就是浇灌的面积。
这时教师出示一个圆，再指一名学生上前用手摸一摸，哪是圆的面积。通过旋转手臂、动手摸圆，学生更直观清楚地感受圆的面积的定义。再配合课件出示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
在这里，教师可以问学生：圆的面积怎么求？有谁知道吗？（由于有的学生提前预习或在课外已经学过，允许学生说出πr²这一公式，教师可以板书在黑板上。）这时追问学生：这个公式对不对呢？那你们知道这个公式是怎样得到的吗？（有的学生虽然知道公式，但对于公式的推导过程并不透彻，这样发问，激发了学生的探究欲。）
二、新知探究：
首先教师引导学生回顾，我们以前学过平面图形面积公式的推导方法，正方形和长方形的面积公式是用数方格的方法得到的（配合课件展示）。平行四边形、三角形、梯形是如何推导的呢？都是运用转化的思想把新图形转化成我们学过的图形，从而推到出面积公式。
说得真好，这节课我们来推导圆的面积计算公式，能不能也运用这种转
化的方法呢？
下面请以小组为单位合作，拿出手中等分好的圆，动手剪一剪，拼一拼，看看怎样把这个圆转化成你学过的图形。
学生拼剪过程中，教师巡视。预设有的学生只拿出了等分后圆片的某一部分进行拼插操作。例如我手中出现的这种情况：学生将圆8等分后，只选了其中4份拼成近似的平行四边形。这时可问学生：这样转化行不行？学生得出结论：不行，转化前后的图形面积应该是相等的。
本着这一前提，学生将手中8等分或16等分的圆片等分后进行转化，拼好后把它贴到粘有双面胶的纸上，并把完成的作品贴到黑板上进行全班展示。
这时老师告诉学生：其实老师也将自己的圆片进行了转化，想不想看一看？此时学生一定拭目以待，课件演示转化过程：
考虑学生的实际情况，电脑分别演示8等份、 16等份、32等份、64等份的圆……让学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。（完成另一个重要数学思想—极限思想的渗透。）
由于学生手中的圆等分的份数有限，多数学生将圆转化成了近似的平行四边形，我们就先从这种情况开始研究。
接下来根据高年级学生的特点，继续引导学生自主探索。为了使学生的研究更具有针对性，我们可以给学生设计3个讨论题目，让学生展开第二次讨论。
1、转化前后的两个图形，什么发生了变化？什么没有变化？
2、近似平行四边形的底相当于圆的什么？
近似平行四边形的高相当于圆的什么？
3、圆的面积怎样计算？
让学生围绕3个讨论题进行研究，将讨论结果以实验报告的形式填写出来。
实验报告：
1、将圆转化成为的图形：&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
相当于圆的&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
圆的面积=&&&&&&
&&&&&&&&&&&
学生汇报后教师总结：我们将圆16等分后，每一份就是一个近似的等腰三角形。我们将圆转化成近似的平行四边形，因为这16个等腰三角形一个也不多，一个也不少，所以圆的面积等于近似平行四边形的面积。平行四边形的底相当于圆周长的一半，高相当于圆的半径，平行四边形的面积等于底乘高，也就是
&2πr& r=πr²，所以圆的面积就是S=πr²。
：平行四边形面积&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
=πr²
为了培养学生的学习兴趣，让学有余力的学生得到发展，教师可以问学生：若将圆转化成近似的三角形、梯形，能推到出圆的面积公式吗？借助刚才的经验，从这两个图形中任选一个，和你的伙伴试试吧。组织第三次讨论。
学生汇报配合课件展示：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
=πr²4r&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
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=πr²
我们说无论把圆转化成什么图形，最后都能得到S=πr²这个面积公式。计算圆的面积时需要知道什么条件？（半径）
整个探索过程中，充分体现了新课程标准提到的：动手操作、自主探索、合作交流是学生获得数学知识的重要方式。掌握公式固然重要，但经历知识的形成过程，获得方法和经验更为宝贵。
由于应用圆的面积公式进行计算时要用到半径的平方。考虑到学生对于理解一个数的平方容易误认为是这个数去成2，或在小数和整十的平方计算中容易出现错误，在这里适时进行了有关平方计算的口算训练：
2²& 3²&& 8²& 0.2²& 0.6²& 50²
让学生充分理解一个数的平方是这个数与它本身的乘积。
在平方计算问题解决后，我们回过头来解决课的开始给大家提出的有关自动浇灌器的问题。（出示例题）
一种自动浇灌器的射程是6米，这个自动浇灌器转动一周，能浇灌多大的面积？
在让学生分析条件和问题后独立解答。解题过程中培养学生书写格式规范的好习惯。
先写公式S=πr²，再列式计算。3.14&6²=3.14&36=113.04（m²）强调面积单位“平方”，并写好答话。
三、课堂练习：
本节课的课堂练习分为3个层次。
（一）、巩固练习：
1、口头列式计算：
& (1)r=3cm，S=？cm²&&&&&
(2) r=0.2dm，S=？dm²
2、根据所给条件求圆的面积:&&&&&&
(1) d =10dm，S=？dm²&&&&
(2) C=12.56m, S=？m²&&&&&&&&&&&&&&&&&&
通过这组练习让学生明确，无论给出的是直径还是周长，要求圆的面积，都要先求出半径。
根据第2题的结果，教师可问学生，这个圆的周长和面积相等，对吗？让学生明确周长和面积是两个不同的概念，没有可比性。
3、在边长6厘米的正方形里剪一个最大的圆，求圆的面积和剪掉部分的面积。
(通过该练习，让学生明确，在正方形里剪最大圆，正方形的边长就是圆的直径。)
（二）辨析练习：
此时学生虽然已经掌握了圆的面积公式及前面课学到的周长的计算方法，但往往结合某道具体问题，就不知道题目求的是什么了。因此我在此有意安排了一组以口答形式出现的辨析练习。让学生从具体情境中判断出要求的是周长还是面积：
1、手榴弹爆炸时的杀伤范围。
2、钟表时针一昼夜尖端走过的距离。
3、圆形桌布周围缝制花边的长度。
4、被绳拴住的羊的活动范围。
5、压路机前轮滚过的路程。
而后问学生：你还能自己举出生活中这样的例子吗？让学生发现生活中的数学问题。
（三）综合练习：
为了给学有余力的学生更多的发展空间，我还设计了这样一道思考题，极大程度调动了学生学习的积极性。
已知正方形面积是5 cm²，求圆的面积：
学生根据公式一般认为计算圆的面积，必须知道半径，否则无法计算，这一题是已知r²=5平方厘米。根据目前知识，学生没有能力求出半径，怎么办？激起学生的认知冲突，引导学生讨论，就会发现，除了知道r,可以求出面积，若能知道r²，不必求出半径，直接利用公式计算面积，打破学生的思维定势，全面理解公式，达到对公式的进一步认识。
四、圆环的面积
本课教学是学生学习了圆的面积及应用之后进行教学的,主要是有关圆的组合图形的面积及应用。教材通过对直观的组合图形面积的计算,使学生建立图式模型,进而利用刚建立的模型解决生活中的实际问题。
教学过程&（一）实践操作,引入新知。
1.我们每人的桌上都有半径是10厘米的圆,谁能告诉大家,求一个半径是10厘米的圆的面积是多少?怎样列式计算?(引导学生说出文字公式、字母公式、列出算式。)
2.操作。我们能在一个圆内剪一刀就剪掉一个图形,使它变成一个新的图形吗?试试看?(学生剪图形,教师巡视指导,帮助有困难的学生。)
3.合作。把你剪出来的新图形展示给同学们欣赏,并告诉大家,你剪出的是什么图形,给新图形取个名字。
&（二）合作学习,探索新知
1.找环形。说环形物体(当有学生展示出环形后)。问:哪些物体是环形的,哪些物体上有环形?
教具展示:环形图片。
2.交流。说环形的剪法。让剪出环形的学生边剪环形边说环形的裁剪过程。
3.操作。剪环形。全体学生各自在外圆半径是10厘米的圆内剪一个内圆半径是3厘米的环形。(教师巡视指导,帮助有困难的学生。)
4.探究。环形面积的计算方法。先小组讨论,再汇报结果。让一学生边说边演示从一个大圆里去掉一个同心小圆形成环形的动态过程:先求出外圆和内圆的面积,再求出环形的面积。想:要计算环形的面积需要什么条件?
5.实践。计算环形的面积。
引导学生编出应用题:一个环形,外圆半径是10厘米,内圆半径是3厘米。它的面积是多少?
(学生独立解答,再汇报结果。告诉同学,你是怎么想的?怎么列式计算的?)&
学生可能会列出教材上所给的两种解法。教师可以让学生说一说两种解法有什么不同，可以通过什么运算定律互相转化，引导学生在计算圆环的面积时，尽量使用简便算法，减少计算量。在理解的基础上，可以给出环形面积的计算公式
S环＝πR2－πr2或S环＝π（R2－r2)。
（三）应用新知,解决问题
1.求下面各环形的面积。（单位：分米）
2. 求下面各环形的面积。（单位：分米）
3.一个环形，外圆周长是25.12厘米,内圆半径是3厘米,求这个圆环的面积。
4.在一个圆形花坛周围修一条环形小路,花坛直径10米,小路宽2米,这条小路
占地多少平方米?
5.一个环形铁片,外圆直径4分米,环宽1分米,这个环形铁片的面积是多少平方分米?
6.有一个运动场两头是半圆,中间是长方形。求运动场的周长和面积。如果加一道5米宽的跑道,跑道的面积是多少平方米?
五、确定起跑线
确定起跑线是建立在圆的概念和圆的周长等知识基础上，结合生活实际与跑道结构的一个教学内容。目的在于提高学生综合运用所学的知识来发现生活中所蕴涵的数学问题，确定起跑线的位置，以及灵活分析问题、解决问题、符号化思考的能力。引导学生初步形成提出问题、解决问题、发现规律、验证规律、拓展运用的科学思考体系，初步提升学生的算术素养。让学生切实体会到数学在体育等生活领域的广泛应用，发展数学的应用意识，学以致用，激发学生的学习积极性。
具体教学：
第一部分：提出问题。
其实6年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200
米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少，首先呈现400米椭圆形跑道，跑道上有一些同学在起跑线上正准备起跑，开门见山地提出问题，“为什么运动员要站在不同的起跑线上？”引起学生对起跑线位置的关注与思考。《跑道图一》经过小组同学观察共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。”
学生的思维、表达、归纳等能力在交流过程中得以提高，使学生深刻的感受到“起跑线位置为什么会不同”。
第二部分：收集数据。
通过计算机呈现跑道，学生对已获得的信息进行梳理，这时老师采用引导发现法，使学生观察表明：
（1）、每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。
（2）、两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。
（3）、各条跑道直道长度相同。
这里充分调动了学生的积极性，由自由说到全体说,更是充分体现了教学的全员参与,活跃了课堂,使学生从中感受到学习的乐趣和成功的喜悦,从而突破本节课的难点,揭示课题.
第三部分：整理数据，确定思路。
在此认知基础上，紧接着引申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线应该相差多少米？”这个问题很难通过观察得到，需要学生收集相关数据，具体分析起跑线的位置与什么有关。
使学生在汇报的过程中自然的发现：要确定跑道的起跑线，只要算出每相邻两条跑道的长度差就可以了。有的学生说，由于跑道的直道长度是相同的，所以算出弯道的长度差就可以了。在这里，教师或学生还可就图片说明半圆形跑道的直径是如何规定的，也就是里圆的直径加上两个跑道的宽度，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向其它学生作一具体说明。这些环节，让学生进行观察，让他们自己发现规律，培养他们抽象概括能力和语言表达能力，在这个环节中教师要灵活的驾驽课堂,及时的抓住课堂中新生成的问题,使问题得以提升,把课堂推向了高潮．
第四部分：进行计算，得出结论。
在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，有的学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径，两个半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。有的学生直接计算出两条环型跑道的周长差，还有的同学直接算出两个跑道的宽，这里让学生说清自己的想法，通过自主优化的方法，落实重点，这样分层递进，自然地掌握确定起跑线的方法，既不让学生感到困难，又培养了学生的抽象概括能力．
第五部分：联系实际,创新应用.
数学来源于生活,同时也服务于生活,应用学到的知识解决实际生活中的问题,不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的,而且能培养他们的创新精神。为此,我设计了一组练习:确定200米赛跑中起跑线的位置.首先观察明确200米跑道的结构,然后以小组为单位进行合作学习,把所学知识真正应用于解决生活中的实际问题,把整节课推向一个新的高潮,从而培养学生解决问题的兴趣和能力.
我们研究这节课的目的，不只是仅仅为了解决一个跑道问题，而是要举一反三、触类旁通。而在这其中，代数及符号化思考等算术素养的培养又是重中之重。因此，我们可以设计了2个题目：拓展一：第一道和第三道起点差距是几米？第二道和第五道呢？
拓展二：200米跑，相邻跑道之间又应该相差多少米？
以上，是我对圆这一单元的一些简单思考，不当之处希望各位老师多提宝贵的意见，谢谢大家！
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