函数定义域和值域求法.doc
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1、函数定义域、值域求法总结
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2012届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
2012届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m 2.函数值域求法一、知识梳理：1、基本初等函数的值域：（1）一次函数 的值域：R（2）反比例函数 的值域： （3）二次函数 的值域：& 时， ； 时， ；二次函数 在给定区间 上的值域：由图象考虑取： （4）指数函数 的值域： （5）对数函数 的值域：R（6）幂函数 的值域： 时，值域为 或 ， 时，值域为 ， 时，值域为 或 （7）三角函数 的值域分别为： 2、求函数值域的方法：（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如 的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
二、典例讨论：题型一。初等函数的复合函数：例1、求下列函数的值域：（1） （2） （3） （4） 呢？&&& （5）已知 ，求函数 的值域。解： 的定义域为 ，由此可得值域为[0，3]；题型二。其它函数例2、求下列函数的值域：（1）分子常数化法：&&&& 点评：适用一次分式函数 型（2）反表示法：&&&& 点评：类似地： （3） 法：求函数y= 值域　　　先因式分解，能约先约。解：∵ ，∴函数的定义域R，原式可化为 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,则x=0；若y 1,∵ R，即有& 0，∴ ,解得 且 y 1.综上：函数是值域是{y| }.点评：适用二次分式函数 型，先因式分解，能约先约。（4）特殊地：基本不等式法，求导法： （5）配方法： 解： ， （6）换元法：&&&&&&& 换元法： &&&&&&& 三角换元法： （7）函数单调性法：&&&& 用 的单调性： 点评：可用导数法求之（8）分段函数图象法：求 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.（9）几何意义法、数形结合： 解： 构造点 得： 点评：亦可用合一法解之。题型三。给定函数值域,求参数的取值范围例3、已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。解： ， ，因为值域为[0，2]，设 ，其 ， ，所以， ，验证：得
四、课后作业： 1．& 求下列函数的最值与值域：（1）y=2x- ;(2)y=x+ ;(4)y= .解 （1）方法一& 令 =t(t≥0),则x= .∴y=1-t2-t=-（t+ 2+ .∵二次函数对称轴为t=- ,∴在［0，+∞）上y=-(t+ 2+ 是减函数，故ymax=-(0+ 2+ =1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二& ∵y=2x与y=- 均为定义域上的增函数，∴y=2x- 是定义域为{x|x≤ }上的增函数，故ymax=2× =1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.(2)方法一& 函数y=x+ 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.∴当x＞0时,y=x+ ≥2 =4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二&& 任取x1,x2,且x1＜x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= 所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y= ,可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin=|AB|= ，可求得x= 时，ymin= .显然无最大值.故值域为［ ，+∞）.2．若函数 的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m
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