傅立叶变换1_图文_百度文库
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傅立叶变换1
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复变函数与积分变换期末试卷-B参考答案及评分细则
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高校数学教师|
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&&复​变​函​数​与​积​分​变​换​期​末​试​卷
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你可能喜欢复数形式傅立叶变换的物理意义，相位究竟指的是什么？
&img src=&/8a012dbdeeabcf5a15a9b14_b.jpg& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&338& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&/8a012dbdeeabcf5a15a9b14_r.jpg&&如上图，给出了复数形式傅立叶变换的幅度计算公式和相位（phase）计算公式，我想问的就是相位究竟是什么？&br&我的理解是给定一个频率w0，|F(w0)|是 那个构成原函数的 频率为w0的cos函数的幅度，而计算出来的“相位”就是 构成原函数的 频率为w0的cos函数的“初相”。想了好久，多谢指正。&br&&br&&img src=&/f2bf3d181e91cce01c439_b.jpg& data-rawwidth=&371& data-rawheight=&170& class=&content_image& width=&371&&这幅图解释的phase又是什么意思呢？&br&我按上面的验算了一下，R(F)*cos(x) + I(F)*sin(x) = |F| * cos(x - tan^(-1)( I(F)/R(F) ) ) &br&这样算出来的cos函数的相位tan^(-1)( I(F)/R(F) 正好等于phase计算公式！那么傅立叶变换phase计算公式计算的就是原函数展开成余弦函数的的相位？！
如上图，给出了复数形式傅立叶变换的幅度计算公式和相位（phase）计算公式，我想问的就是相位究竟是什么？我的理解是给定一个频率w0，|F(w0)|是 那个构成原函数的 频率为w0的cos函数的幅度，而计算出来的“相位”就是 构成原函数的 频率为w0的cos函数的“初相”。想了好久，多谢指正。这幅图解释的phase又是什么意思呢？…
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傅里叶分析和应用学过《信号与系统》和《复变函数》等课程的人往往会被许多问题所困惑，如：（1）周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么？（2）频谱表示什么？（3）通过频谱我们能知道什么？（4）非周期信号的傅里叶变换到底是什么意思？傅里叶变换的物理意义？（5）复数形式的傅里叶变换的物理意义？（6）对信号用频域分析有什么好处？
（7）为什么周期信号的傅里叶变换在相应频率处出现冲激函数？
上述问题尽管看上去有些零碎，其实它们是有联系的，下面，我从头到尾把这些问题串起来，内容可能比较多，如果你想知道结果，则需要你耐心阅读，并希望下面的内容能对你有所帮助，更详细的内容和应用还请参见我写的《信号与系统分析和应用》一书，本书在高等教育出版社出版发行。一、周期信号的傅里叶级数和信号频谱1、周期信号的三角函数形式傅里叶级数和信号频谱（1）周期信号三角函数形式的傅里叶级数可以看到，信号频谱的作用就是用图形（频谱图）或公式（向量形式）来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” （幅度、初相和频率或角频率）。从频谱图上，我们就能看到原周期信号含有的所有频率的余弦（或正弦）信号的幅度和相位的大小，也就知道了周期信号含有的所有频率成分以及这些频率成分对原信号的贡献大小。上面图（c）是将图（a）和（b）合成一个图（合成的原则请参见《信号与系统分析和应用》书）。二、非周期确知信号的傅里叶变换三、周期信号的傅里叶变换以及冲激函数的作用五、其它函数的傅里叶变换及应用
《信号与系统》课程中还涉及到：（1）
“自相关函数”的傅里叶变换；（2）系统单位冲激响应的傅里叶变换；（3）离散时间傅里叶变换DTFT；（4）离散傅里叶变换DFT；
这些傅里叶变换都有其各自的物理意义和作用。
傅立叶变换的实质是：用周期运动（震荡或振动）来描述一般的运动。周期运动有三个特征值：幅值，频率和相位。比如这两个运动，显然是不同的，后一个比前一个落后，如果两者都是圆周运动的话，则表示f1比f2“领先”30度：再看一个例子：这个和f1(t)虽然在表现上看不出差别，但是在意义上确是有差别的，如果f1和f3都是圆周运动的话，则表明f3比f1领先360度，即f1需要“多转一周”才能“赶上”f3.注意如果单独给你一个周期运动，你无法看出到底相位是还是，还是其他什么相位，只有在两个运动相比较的时候才能发现它们的不同傅立叶变换也是类似的，这里的幅值、相位也是相对的，更多的时候我们关心的是一个信号经过某种处理，它究竟有多少相位（以及幅值）变化。
傅里叶最早是在解微分方程的时候发现了傅里叶级数。后来，在电子信号处理中，人们用傅里叶变换把随时间连续变化的函数变为只有几个分立的频率值得离散函数，也叫本证函数和本征值。不一定关于频率的函数才是本证函数，只要一个复杂的函数可以分解为几个简单的函数的和（或者积分），就可以看作是谱分解。为什么这样分解？因为研究几个简单的函数要容易得多。就跟高考一样，分成几门，通过每门多少分来评价这个学生的情况。时域和频域，或者位置与动量，是相互对偶的，可以通过研究一个来得知另一个。对偶的概念很不好解释，要花很多数学。所以傅里叶变换，本质上是把一个复杂函数变换到对偶空间中的简单函数，然后再反推原函数的性质，或者系统的性质。
说说我的理解吧，不一定对就是了。傅立叶变换的本质大家都知道，就是把一个在时间域上表示的函数转换成频率域上表示的函数。我们生活在一个时间不断流逝的世界中，把一个函数用时间作为参量是非常自然的选择。但是一旦用频率作为参量表示，很多人就懵了：什么玩意儿？其实反过来想，难道不行吗？为什么不能用频率作为参变量表示函数呢？好像没什么定理禁止吧？但....但人们还是不能理解，为什么要这么做？这么做有什么理由吗？当然有理由了，我们知道频率对波来说是一个非常重要的参量，事实上根据量子力学的普朗克公式，粒子的能量甚至都是和它的频率成正比的。求出了频率就知道了能量，多神奇！好啦，于是我们就看到了傅立叶变换。不是每一个函数都像Asin(ωt）一样，能让人一眼看出频率的。于是人们就找到了傅立叶变换，虽然使用傅立叶变换之后就出现了一系列问题：比方说，频率可以是负数。按照中学物理的观点，频率是物体单位时间内完成周期变化的次数。按照这个定义来，频率当然不可能是负数了。但是，还是反过来问问题：谁规定频率必须是这个定义？写出一个波动方程，其它条件不变，把频率的符号改变，请问得到的结果是什么？答案是反方向传播的波动方程。其实负频率就这么简单，表示反方向的周期运动，仅此而已。可还是有问题：周期函数有频率，非周期函数呢？能不能有频率？也可以啊，就像之前有人指出的那样，用周期函数的叠加来逼近非周期函数，这不就得到周期函数的定义了吗？再回答楼主的问题：相位是什么？前面说了那么多波动方程，其实从波动方程本身的意义也可以看出来吧？人们用相位来表示波的幅度随时间的变化，这是时域上波的相位含义。时域上的相位概念可以推广到频域上，进行类比吗。
傅立叶变换的确有明确的物理意义：把一个信号（时间轴上从负无穷到正无穷）分解为无数个角速度不同（遍历所有 实数）的圆周运动（该圆周运动发生在复平面）。所以，题主问的傅立叶变换的相位是什么含义？就是在t=0时刻，角速度为w的圆周运动所在的弧度。
另外一个让很多初学者百撕不得其解的 问题：傅立叶变换的负频率有什么含义？
答案是：正频率代表了逆时针的圆周运动，负频率代表了顺时针的圆周运动。就这么简单。
所以，一个实函数的傅立叶分解，必然是一对（或无数对）频率正负相反的圆周运动，加起来把虚数部分抵消了，只剩下实数部分。
个人理解，傅立叶变换是将信号分解为几个或无数个频率不同余弦函数，每个频率对应一个余弦函数，余弦函数有幅度相位特征，这就是我们频谱图与相谱图，之所以用jw之类的，不过是用欧拉公式把所有的余弦函数表示出来而已
更新：我的理解，可能有误哈。先讨论一个信号的傅立叶级数表示。这里我讨论一个无限阶可导的周期信号：这里有两点要注意：An&=0，因为An&0的部分，可以用一个正的An和某个相位来表示，这里做这样的限定，后面的分析会很方便。另外，注意这里只有n为正数的项，加上一个掉单的n=0的项使用三角函数的和的公式可以得到下面的结果：再使用欧拉公式，可以得到下面的结果：整理一下：到了这一步，才出现所谓的“负频率”项的。现在，先讨论正频率的这个傅立叶级数：并不是，虚数部分除以实数部分取arctan（arctan的值域是-90° & y & 90°，这样会出问题的），而是直接对这个复数做arg运算得到的相位，刚好就是余弦的初相位。假如是负频率的傅立叶级数呢：做arg运算，得到的相位恰好是 余弦的初相位的负数。所以，我的理解的相位的含义是：由用余弦分量来表示一个信号，变成了指数形式，原本的余弦分量的相位，和其负数，分别成了指数正频率项的相位和指数负频率项的相位。而那个相对。我不知道图里面怎么说的，但是我理解的这个相位的“相对”在于：其实，一个信号也可以用不同相位和谐频的正弦信号之和表示。比如，指数形式的正频率分量的相位和对应正弦分量的相位有-90的差异。因为，所谓的相位，是以“用余弦分量来表示信号”为基础来看的。好吧，这个相对有些牵强。PS：昨天推导的时候，就是用的正弦分量。。所以，没有看出关系来。。下面是昨天的回答。××××××××××××××××××谢邀。其实，以前我也没有想清楚，理解得挺模糊的。今天看到题主问这个问题，发现自己以前理解得很肤浅。如果是fs，我现是这样理解的。看图:
1.你的第二张图中的how much, actually it's half of much...我们在用不同相位的consine加起来获得原来的信号时，我们没有考虑负频率的consine。而写成了exp，一个正的cosine，有初相位的，可以分成一个0初相位的sine和0初相位的cosine，而没有初相位的sine或者cosine又都能被分成正负两个部分，正频率的exp和负频率的exp。所以，单个exp只有一半。2.relative这个词很重要。是相对相位。3.如果是ft，严谨点的话，要从ft的定义上证明。我不会。不过启发式的说起来，T很大时，T乘上傅里叶级数，也成立。。于是。。极限情况下应该也成立。
经常看到有人问，某某数学内容的物理意义是什么这种问题，其实这一类问题在学习上就已经有误区。数学是由物理而发生发展，但一朝建立某方面完整数学体系，依托于物理来理解数学并不会成为捷径。有时反而成为障碍从物理意义来理解，每学一次数学方法的新应用，都像是重学一门课。而抽象理解数学方法后再通过它来理解新的应用，繁琐的计算再也不会乱花渐欲迷人眼～我的观点始终是，线性积分变换就是内积，内积就是投影，投影的和就是原函数的分解。电子通信类的这些变幻，很多都是这么个简单的东西。对每一种形式的变换使用更具体物理解释，就好像把所有加法都对应上苹果数量的相加一样，不是个明智的决定。
以音乐为例。当我们在聆听一段旋律时，听到的声音是以时间为自变量的（就是说，随着时间流失，我们听到了前奏，高潮，尾声）。当我们在敲击琴键时，听到的是一个个单音。理解傅里叶变换，从时域到频域，就是将一段旋律分解为一个个音阶；而从频域到时域，就是将一个个音阶连接成一段旋律。理解相位，以人为例。人生有高潮，有低谷。你和我同相，就意味着我们同时达到高潮，或者同时达到低谷；你和我反向，就意味着我高潮时你低谷，你高潮时我低谷。其他情况类似。
本源问题似乎应该是“虚数频率的意义是什么？” 我觉得是表示energy storage的那部分。那么为什么一个complex frequency必须有energy consuming部分和energy storage部分组成呢？ I donno。。。似乎是在二维世界里就是这样。。。高手在哪啊
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社交帐号登录复变函数(尹水仿)课后答案key_百度文库
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复变函数(尹水仿)课后答案key
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&&复​变​函​数​(​尹​水​仿​)​课​后​答​案​详​细​版
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你可能喜欢【图文】第1章 信号及其描述_百度文库
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第1章 信号及其描述
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&&机​械​工​程​测​试​技​术
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