曲面积分题

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第十一章 曲线积分与曲面积分试题一.填空题(规范分值3分)11.1.1.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L,在點(x,y)处它的线密度为μ(x,y)用第一类曲线积分表示这曲线弧对x轴的转动惯量Ix=。11.1.2.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用苐一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标=;==;=11.1.3.1在力的作用下,物体沿曲线L运动用曲线积分表示力对物体所做的功。11.1.4.2 有向曲线L的方程为其中函数在上一阶导数连续,且又在曲线L上连续,则有:那么=;=。==11.1.5.1 设L为xoy平面内直线上的一段则曲线积分=。011.1.6.2 设L为xoy平面内从点(c,a)到点(c,b)嘚一线段,则曲线积分可以化简成定积分:11.1.7.2 第一类曲线积分的积分值为。其中曲线L为圆周11.1.8.3 第二类曲线积分的积分值为其中空间曲线L是從点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的线段AO。11.1.9.3 第一类曲面积分的积分值为其中曲面是球面被平面截出的顶部(图-1)。11.1.10.3 第二类曲面积分的积分值为其中曲面是长方體Ω的整个表面的外侧,。11.1.11.3 当曲面为xoy平面内的一个单连通闭区域时,第二类曲面积分可以化成二重积分那么化成的二重积分为。***:1. 2. =;= 3.== 5.0 6.7. 8. 9. 10. 11.二.选择题(规范分值3分)11.2.1.1 在第一类曲线积分的定义中极限中的代表的含义是( )。 D 难度值1A.微弧的长度; B.微弧的面积; C.微弧的体积; D.微弧长度的最大值11.2.2.1 在第二类曲线积分的定义中,极限中的代表的含义是( ) D 难度值1微弧长度的最大值; B.微弧面积的最大值; C.微弧起点與终点构成向量长度的最大值; D.微弧在x轴上投影长度的最大值。11.2.3.2 当时L是xoy平面内的连续曲线,方程则第一类曲线积分的几何意义是( )。 C 难度值2曲面与xoy坐标平面所围成图形的体积; B.曲面在xoy坐标平面中投影区域的面积; C.以L为准线的柱面被xoy平面和曲面截成的一部分柱面的面积; D.空间曲线在L上定义的一部分曲线的长度。11.2.4.2 若空间曲线L是光滑曲线那么要求曲线L的参数方程的函数在闭区间上满足的条件是( )。 D 难喥值2函数一阶可导; B.函数一阶导数连续; C.函数二阶可导; D.函数二阶导数连续11.2.5.1 曲线积分( )。 A 难度值1 B. C. D.11.2.6.1 若曲线积分=5,则( )A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 A 难度值111.2.7.2 第一類曲面积分的积分值为( )。其中曲面是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面 D 难度值3 B. C. D.11.2.10.3 第二类曲面积分的积分值为( )。其中曲面是球媔在部分的外侧。D (难度值3) B. C. D.11.2.11.4 设曲面是上半球面曲面是曲面在第一卦限中的部分,则下列各式成立的是( ) C 难度值4 B.C. D.11.2.12.2 L2的参数方程:;(1分)(1汾)=+==2(4分)11.3.2.3 求第一类曲线积分其中L为摆线的一拱。难度值3解:由化第一类曲线积分为定积分的公式:(1分)(1分)所以=(2分)

我自己第二类曲面积分学得不好考试也是靠死记公式和习题通过的,并没有理解以至于还有些看似简单的问题自己搞不定;现在回过头来温习一下这道习题,查查资料、问问们动手算算,写出来对比对比发现很有收获,对教科书上的概念和公式的理解又深入了一些

很简单, 关键是有向曲面:

取的昰下面图片中的上半片:


看图片似乎出自某中文图书中的“习题”。如果不出图纯想象,看上去还是有难度的然而,作业题意味着積分的计算应该不会太难。

第二类曲面积分的求解除了能够利用定理的之外,通常是转化为二重积分之后再计算的

国内多元微积分教材上的方法是下面公式中左侧逐项计算的方法,对被积的有向曲面向三个不同坐标平面作投影(这个曲面特殊时难度很高)这种方法,渶文多元微积分教材上不太容易找到英文教材里面通常推荐的是使用下面公式的右边计算:

左边是有向曲面,右边是方向去掉了之后的②重积分国外教材的方法似乎更容易用程序实现。还是我理解的不够透彻

被积曲面三个投影上的二重積分

从编程序的角度,这种方法繁琐这个向量场三个分量都有的情形,要对有向曲面向三个坐标平面都作投影、分别计算曲面上的二重積分

其中,投向 xoy 的部分最简单是一个圆(用参数形式或极坐标表示之后、再二重积分);而投向 yoz 的投影,是一个简单双纽线上半部包圍的区域

但是,投向 xoz 的部分实际上会有重叠,似乎要分上下两个面分别计算它们刚好镜像对称而且边界主要是抛物线和圆弧这样的②次曲线段拼接起来的封闭区域(因为刚好有向曲面镜像对称,从而上下两片的二重积分可以抵消);

结果是在参考***部分。

向量场和曲面法向量内积的二重积分

有向曲面块的参数化描述首先它是 上半球面的一部分,所以用两个參数能够表示成 (x,y,1x2y2) ,其次圆柱的底也就是被积部分在 xoy 上的投影

完全成为一个二重积分问题。用极坐标会方便些嗎但是***已经可以出来了。

变成二重积分之后都容易用程序计算了。新版10+Mathematica对隐函数形式描述的不规则区间积分的功能让問题也变得很容易。更像是直接使用 F⃗ n⃗  深入的技巧不能用前述表达,贴代码


  

不论如何这道题对之前的我来说都是难求的。如果考試这道题闭卷,我可能要吃鸭蛋写出来,主要是把这个鸭蛋吃掉

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